На рисунке 10 показано изменение высоты сосны y (в метрах) в зависимости от ее возраста x (в годах). Найдите а) высоту сосны в возрасте 10;40;90;120 лет; б) на сколько выросла сосна за промежуток времени от 20 до 60 лет; от 60 до 100 лет.
1) Функция определена повсюду кроме точки, в которой знаменатель превращается в ноль, x = 0.
Область определения состоит из двух интервалов D(y):(-∞;0) U (0; +∞).
В данном случае имеем одну точку разрыва x=0.
Вычислим границы слева и справа от этой точки
lim┬(x→-0)〖 (x^2-4)/x=-∞.〗
lim┬(x→+0)〖 (x^2-4)/x=+∞.〗
Итак, x=0 – точка разрыва второго рода.
Проверяем функцию на четность.
Проверим функцию - четна или нечетна с соотношений f(-x)=f(x) и f(-x)=-f(x). Итак, проверяем:
f(-x)=(〖(-x)〗^2-4)/((-x))=-(x^2-4)/x≠f(x)=-f(x).
Итак, функция нечетная, непериодическая.
2) Так как функция не имеет значения при х = 0, то график функции не пересекает ось Оу.
Приравняем функцию к нулю:
(x^2-4)/x=0.
Если переменная не равна 0, то к нулю можно приравнять только числитель:
x^2-4=0,
x^2=4,
x_1=√4=2,x_2= -2. Это точки пересечения с осью координат Ох.
Промежутки, на которых функция больше нуля: (-2; 0) и (2; +∞).
Промежутки, на которых функция меньше нуля: (-∞;-2) и (0; 2).
3) Асимптоты.
Вертикальной асимптотой является ось Оу, определённая в пункте 1).
Горизонтальные асимптоты графика функции:
Горизонтальную асимптоту найдем с предела данной функции при x->+∞ и x->-∞. Соотвествующие пределы находим:
lim┬(x→∞)〖 (x^2-4)/x=x-4/x=∞〗, значит, горизонтальной асимптоты справа не существует.
Аналогично, при x->-∞ f(x) = -∞, значит, горизонтальной асимптоты слева не существует
Наклонные асимптоты графика функции.
Уравнение наклонной асимптоты имеет вид y=kx+b. Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной функции, деленной на x при lim┬( x→±∞)〖(kx+b-f(x)).〗
4) Для отыскания интервалов монотонности вычисляем первую производную функции:
〖y^'=〗〖 (2x*x-1*(x^2-4))/x^2 =(x^2+4)/x^2 .〗
Приравниваем её к нулю, (для дроби достаточно числитель):
x^2+4=0,x^2=-4.
Это уравнение не имеет решения, поэтому производная не может быть равна нулю, то есть заданная функция не имеет экстремумов.
Так как производная при любом значении переменной положительна, то функция на всей области определения возрастает.
5) Точки перегибов графика функции:
Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить уравнение y'' = 0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного уравнения будут точками перегибов указанного графика функции:
y''((x2-4)/(x)) = -8/(x3) = 0
Данная функция не может быть равна нулю, поэтому перегибов у функции нет.
Интервалы выпуклости и вогнутости.
Ось Оу делит график функции на 2 интервала: (-∞; 0) и (0; +∞).
Интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, находим по знаку второй производной : где вторая производная меньше нуля, там график функции выпуклый, а где больше - вогнутый.
x = -1 0 1
y'' = 8 - -8
Вогнутая на промежутках: (0; ∞),
Выпуклая на промежутках: (-∞;0) .
6) На основе проведенного анализа выполняем построение графика функции. Для этого сначала строим вертикальные и наклонные асимптоты, затем находим значение функции в нескольких точках и по них проводим построение.
рассмотрим первый группа средний рост 180 это средняя арифмитическая если предположить что группа состоит из 6 человек то сумма всех возрастов 180×6=1080 см если половина группы имеют минимальный рост 175 см то их суума равна 525 см значит на остальных отходит 1080-525=555 см на троих остальных то их рост равен 185 см если рассмотеть случай максимальной допустимой нормы то рост троих 190×3=570 см а значит на остальных отходит 1080-570=510 см 510÷3=170 а это значит при максимальной норме значение роста более приближенны рассмотрев взяв за моду крайние точки периода мы можем сделать вывод что годны 3/4 полка к службе
второй случай максимальный рост 189 см это нам ничто не дает так как могут быть 150 см 160 см то есть условиям не подходящие а значит вторая группа вряд ли годна службе
третий случай медианна 176 но опять же нет гарантии что роста входят в этот промежуток
может ряд 150 160 176 195 200 а это значит что третий случай тоже не подойдет и всего этого только первыя группа годна службе
Дана функция у = (x^2-4)/x
1) Функция определена повсюду кроме точки, в которой знаменатель превращается в ноль, x = 0.
Область определения состоит из двух интервалов D(y):(-∞;0) U (0; +∞).
В данном случае имеем одну точку разрыва x=0.
Вычислим границы слева и справа от этой точки
lim┬(x→-0)〖 (x^2-4)/x=-∞.〗
lim┬(x→+0)〖 (x^2-4)/x=+∞.〗
Итак, x=0 – точка разрыва второго рода.
Проверяем функцию на четность.
Проверим функцию - четна или нечетна с соотношений f(-x)=f(x) и f(-x)=-f(x). Итак, проверяем:
f(-x)=(〖(-x)〗^2-4)/((-x))=-(x^2-4)/x≠f(x)=-f(x).
Итак, функция нечетная, непериодическая.
2) Так как функция не имеет значения при х = 0, то график функции не пересекает ось Оу.
Приравняем функцию к нулю:
(x^2-4)/x=0.
Если переменная не равна 0, то к нулю можно приравнять только числитель:
x^2-4=0,
x^2=4,
x_1=√4=2,x_2= -2. Это точки пересечения с осью координат Ох.
Промежутки, на которых функция больше нуля: (-2; 0) и (2; +∞).
Промежутки, на которых функция меньше нуля: (-∞;-2) и (0; 2).
3) Асимптоты.
Вертикальной асимптотой является ось Оу, определённая в пункте 1).
Горизонтальные асимптоты графика функции:
Горизонтальную асимптоту найдем с предела данной функции при x->+∞ и x->-∞. Соотвествующие пределы находим:
lim┬(x→∞)〖 (x^2-4)/x=x-4/x=∞〗, значит, горизонтальной асимптоты справа не существует.
Аналогично, при x->-∞ f(x) = -∞, значит, горизонтальной асимптоты слева не существует
Наклонные асимптоты графика функции.
Уравнение наклонной асимптоты имеет вид y=kx+b. Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной функции, деленной на x при lim┬( x→±∞)〖(kx+b-f(x)).〗
Находим коэффициент k: k=lim┬(x→±∞)〖(f(x))/x.〗
k=lim┬( x→±∞)〖 (x^2-4)/x^2 =1-4/x^2 =1.〗
Коэффициент b: b=〖lim┬(x→±∞) (〗〖f(x)-kx).〗
〖b=lim〗┬( x→±∞)〖 (x^2-4)/x-x=(x^2-4-x^2)/x=-4/x=0.〗
Конечный вид асимптоты следующий: y=x.
4) Для отыскания интервалов монотонности вычисляем первую производную функции:
〖y^'=〗〖 (2x*x-1*(x^2-4))/x^2 =(x^2+4)/x^2 .〗
Приравниваем её к нулю, (для дроби достаточно числитель):
x^2+4=0,x^2=-4.
Это уравнение не имеет решения, поэтому производная не может быть равна нулю, то есть заданная функция не имеет экстремумов.
Так как производная при любом значении переменной положительна, то функция на всей области определения возрастает.
5) Точки перегибов графика функции:
Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить уравнение y'' = 0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного уравнения будут точками перегибов указанного графика функции:
y''((x2-4)/(x)) = -8/(x3) = 0
Данная функция не может быть равна нулю, поэтому перегибов у функции нет.
Интервалы выпуклости и вогнутости.
Ось Оу делит график функции на 2 интервала: (-∞; 0) и (0; +∞).
Интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, находим по знаку второй производной : где вторая производная меньше нуля, там график функции выпуклый, а где больше - вогнутый.
x = -1 0 1
y'' = 8 - -8
Вогнутая на промежутках: (0; ∞),
Выпуклая на промежутках: (-∞;0) .
6) На основе проведенного анализа выполняем построение графика функции. Для этого сначала строим вертикальные и наклонные асимптоты, затем находим значение функции в нескольких точках и по них проводим построение.
Таблица точек
x y
-4.0 -3
-3.5 -2.4
-3.0 -1.7
-2.5 -0.9
-2.0 0
-1.5 1.2
-1.0 3
-0.5 7.5
0 -
0.5 -7.5
1.0 -3
1.5 -1.2
2.0 0
2.5 0.9
3.0 1.7
3.5 2.4
4.0 3 .
рассмотрим первый группа средний рост 180 это средняя арифмитическая если предположить что группа состоит из 6 человек то сумма всех возрастов 180×6=1080 см если половина группы имеют минимальный рост 175 см то их суума равна 525 см значит на остальных отходит 1080-525=555 см на троих остальных то их рост равен 185 см если рассмотеть случай максимальной допустимой нормы то рост троих 190×3=570 см а значит на остальных отходит 1080-570=510 см 510÷3=170 а это значит при максимальной норме значение роста более приближенны рассмотрев взяв за моду крайние точки периода мы можем сделать вывод что годны 3/4 полка к службе
второй случай максимальный рост 189 см это нам ничто не дает так как могут быть 150 см 160 см то есть условиям не подходящие а значит вторая группа вряд ли годна службе
третий случай медианна 176 но опять же нет гарантии что роста входят в этот промежуток
может ряд 150 160 176 195 200 а это значит что третий случай тоже не подойдет и всего этого только первыя группа годна службе
ответ 1 группа