12) Длина высоты – это расстояние от точки А4 до плоскости А1А2А3.
Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0
используем формулу:
d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D|
√(A² + B² + C²)
Подставим в формулу данные:
d = |0·8 + (-15)·4 + (-6)·1 + 123|
√(0² + (-15)² + (-6)²) =
= 0 - 60 - 6 + 123|
√0 + 225 + 36 =
= 57/√261 = 19√29/29 ≈ 3.52821.
13) Надо найти проекцию точки А4 на плоскость А2А3А4. Пусть это точка Е.
Находим уравнение прямой А4Е.
Нормальный вектор плоскости А2А3А4 найден ранее и равен (0; -21; 3). и является направляющим вектором перпендикуляра к плоскости.
Получаем уравнение перпендикуляра из точки A1(7; 7; 3).
А4Е:((x - 7)/0 = (y - 7)/(-21) = ((z - 3)/3.
Координаты, которые имеет точка Е пересечения x,y,z, должны удовлетворять уравнению прямой и уравнению плоскости. Поэтому, для их определения, необходимо решить систему уравнений, которая включает уравнение прямой и уравнение плоскости. Это система:
{((x - 7)/0 = (y - 7)/(-21) = ((z - 3)/3.
{ -21y + 3z + 81 = 0.
Уравнение прямой представим в параметрическом виде.
((x - 7)/0 = (y - 7/(-21) = ((z - 3)/3 = t,
x - 7 = 0*t , x = 7,
y – 7 = (-21)*t, y = -21t + 7,
z - 3 = 3*t, z = 3t + 3.
Подставим переменные в уравнение плоскости x-y+z+3=0.
чтобы определить знак функции достаточно определить в какой координатной четверти она находится. Знаки синуса соответствуют знакам на оси у, а знаки косинуса оси х.
В)
1) –83° – угол отрицательный, приведём его к положительному:
Даны точки A1(7,7,3), A2(6,5,8), A3(3,5,8), A4(8,4,1).
1) Находим векторы.
Вектор А1А2 = (6-7; 5-7; 8-3) = (-1; -2; 5),
модуль равен √((-1)² + (-2)² + 5²) = √(1 + 4 + 25) = √30.
Вектор А1А3 = (3-7; 5-7; 8-3) = (-4; -2; 5).
модуль равен √((-4)² + (-2)² + 5²) = √(16 + 4 + 25) = √45 = 3√5.
Также находим вектор А1А4 = (8-7; 4-7; 1-3) = (1; -3; -2).
модуль равен √(1² + (-3)² + (-2)²) = √(1 + 9 + 4) = √14.
Находим нормальный вектор плоскости А1А2А3 как векторное произведение векторов А1А2 и А1А3 с применением схемы Саррюса.
I j k| I j
-1 -2 5| -1 -2
-4 -2 5| - 4 -2 = -10i - 20j + 2k – (-5)j – (-10)i - 8k = 0i - 15j - 6k.
Получили нормальный вектор плоскости (0; -15; -6).
Можно принять коллинеарный ему вектор (0; 15; 6).
Угол между прямой и плоскостью находим по формуле:
sin φ = | A · l + B · m + C · n |
√(A² + B² + C²)· √(l² + m² + n²)
Подставим данные и найдём угол.
∠(A1А4,A1А2А3)=arcsin|⟨A1А4→,n⃗ А1А2А3⟩||A1А4→|⋅|n⃗ А1А2А3| =
=arcsin |1⋅0+(−3)⋅15+(−2)⋅6 |
√(1²+(−3)²+(−2)²)⋅√(0²+15²+6²) =
arcsin(19√406/406)≈1.231 радиан = (1.231⋅180π)∘≈70.554°.
2) Для составления уравнения плоскости А1А3А4 используем формулу:
x - xA y - yA z - zA
xB - xA yB - yA zB - zA
xC - xA yC - yA zC - zA = 0
Подставим данные и упростим выражение:
x – 7 y – 7 z – 3
3 – 7 5 – 7 8 – 3
8 – 7 4 – 7 1 - 3 = 0
x – 7 y – 7 z – 3
-4 -2 5
1 -3 -2 = 0
(x – 7)(-2·(-2)-5·(-3)) – (y – 7)((-4)·(-2)-5·1) + (z – 3)((-4)·(-3)-(-2)·1) = 0
19(x – 7) + (-3)(y – 7) + 14(z – 3)= 0
19x - 3y + 14z - 154 = 0.
Нормальный вектор плоскости равен (19; -3; 14).
Для составления уравнения плоскости А2А3А4 используем ту же формулу.
Подставим данные и упростим выражение:
x – 6 y – 5 z – 8
3 – 6 5 – 5 8 – 8
8 – 6 4 – 5 1 - 8 = 0
x – 6 y – 5 z – 8
-3 0 0
2 -1 -7 = 0
(x – 6)(0·(-7)-0·(-1)) – (y – 5)((-3)·(-7)-0·2)+ (z – 8)((-3)·(-1)-0·2) = 0
0(x – 6) + (-21)(y – 5) + 3(z – 8) = 0
-21y + 3z + 81 = 0.
Нормальный вектор плоскости равен (0; -21; 3).
Вычислим угол между плоскостями
19x - 3y + 14z - 154 = 0 и - 21y + 3z + 81 = 0
cos α = |A1·A2 + B1·B2 + C1·C2|
√(A1² + B1² + C1²)*√(A2² + B2² + C2²)
cos α = |19·0 + (-3)·(-21) + 14·3|
√(19² + (-3)² + 14²)* √(0² + (-21)² + 3²) =
= |0 + 63 + 42|
√(361 + 9 + 196)*√(0 + 441 + 9) =
= 105/(√566 *√450) = 105/√254700 = 7√283/566 ≈ 0,20805.
α = 77.9917°.
3) Находим вектор А1А2 = (6-7; 5-7; 8-3) = (-1; -2; 5).
Получаем уравнение А1А2:
(x – 7)/(-1) = (y – 7)/(-2) = (z – 3)/5.
8) Нормальный вектор плоскости А1А2А3 уже найден и равен (0; 15; 6).
Осталось подставить координаты точки А1(7; 7; 3) и подставить в уравнение плоскости.
0*(x – 7) + 15*(y – 7) + 6*(z – 3) = 0. Получаем:
15у + 6z – 123 = 0.
9) Для параллельной плоскости коэффициенты переменных в уравнении (а это координаты нормального вектора) сохраняются.
Подставляем координаты точки А4(8; 4; 1).
0*(x – 8) + 15*(y – 4) + 6*(z – 1) = 0. Получаем:
15у + 6z – 66 = 0.
10) Этот вопрос не имеет однозначного решения, так как через одну точку можно провести неограниченное множество плоскостей, перпендикулярных заданной.
11) Находим вектор А1А4 = (8-7; 4-7; 1-3) = (1; -3; -2).
Уравнение прямой А1А4:
(x - 7)/1 = (y – 7)/(-3) = (z – 3)/(-2).
12) Длина высоты – это расстояние от точки А4 до плоскости А1А2А3.
Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0
используем формулу:
d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D|
√(A² + B² + C²)
Подставим в формулу данные:
d = |0·8 + (-15)·4 + (-6)·1 + 123|
√(0² + (-15)² + (-6)²) =
= 0 - 60 - 6 + 123|
√0 + 225 + 36 =
= 57/√261 = 19√29/29 ≈ 3.52821.
13) Надо найти проекцию точки А4 на плоскость А2А3А4. Пусть это точка Е.
Находим уравнение прямой А4Е.
Нормальный вектор плоскости А2А3А4 найден ранее и равен (0; -21; 3). и является направляющим вектором перпендикуляра к плоскости.
Получаем уравнение перпендикуляра из точки A1(7; 7; 3).
А4Е:((x - 7)/0 = (y - 7)/(-21) = ((z - 3)/3.
Координаты, которые имеет точка Е пересечения x,y,z, должны удовлетворять уравнению прямой и уравнению плоскости. Поэтому, для их определения, необходимо решить систему уравнений, которая включает уравнение прямой и уравнение плоскости. Это система:
{((x - 7)/0 = (y - 7)/(-21) = ((z - 3)/3.
{ -21y + 3z + 81 = 0.
Уравнение прямой представим в параметрическом виде.
((x - 7)/0 = (y - 7/(-21) = ((z - 3)/3 = t,
x - 7 = 0*t , x = 7,
y – 7 = (-21)*t, y = -21t + 7,
z - 3 = 3*t, z = 3t + 3.
Подставим переменные в уравнение плоскости x-y+z+3=0.
-21(-21t + 7) + 3(3t + 3) + 81 = 0,
441t – 147 + 9t + 9 + 81.
450t = 57,
t = 57/450 = 19/150.
Подставим значение t в выражения переменных.
x = 7,
y = -21*(19/150) + 7 = (-399+1050)/150 = 651/150 = 217/50,
z = 3*(19/150) + 3 = (57+450)/150 = 507/150 = 169/50.
Найдена точка E пересечения перпендикуляра из точки A1 и плоскости А2A3A4, она же является проекцией точки A1 на заданную плоскость.
ответ: Е(7; (217/50); (169/50)).
чтобы определить знак функции достаточно определить в какой координатной четверти она находится. Знаки синуса соответствуют знакам на оси у, а знаки косинуса оси х.
В)
1) –83° – угол отрицательный, приведём его к положительному:
(–83°+360°)=277°; 277° ∈ [270°; 360°] – Ⅳ четверть.
sin 277° < 0; cos 277° > 0
2) 198° ∈ [180°; 270°] – Ⅲ четверть.
sin 198° < 0; cos 198° < 0
3) –295° < 0, приведём его к положительному:
(–295°+360°)=65°; 65° ∈ [0°; 90°] – Ⅰ четверть;
sin 65° > 0; cos 65° > 0
4) 1540°=(4×360°+100°)=(1440°+100°)=100°; 100° ∈ [90°; 180°] – Ⅱ четверть;
sin 100° > 0, cos 100° < 0
Г) Для удобства переведем радианы в градусную меру.
1) π/15=180°÷15=12°; 12° ∈ [0°; 90°] – Ⅰ четверть;
sin 12° > 0; cos 12° < 0
2) –17π/14= –17×180÷14≈ –219° < 0;
(–219°+360°)=141°; 141° ∈ [90°; 180°] – Ⅱ четверть;
sin 141° > 0; cos 141° < 0
3) 40π/21=40×180÷21≈343°;
343° ∈ [270°; 360°] – Ⅳ четверть;
sin 343° < 0; cos 343° > 0
4) –37π/30= –37×180÷30= –222° < 0;
–222°+360°=138°; 138° ∈ [90°; 180°] – Ⅱ четверть;
sin 138° > 0; cos 138° < 0