Метод интервалов – простой решения дробно-рациональных неравенств. Так называются неравенства, содержащие рациональные (или дробно-рациональные) выражения, зависящие от переменной. Метод интервалов позволяет решить его за пару минут.В левой части этого неравенства – дробно-рациональная функция. Рациональная, потому что не содержит ни корней, ни синусов, ни логарифмов – только рациональные выражения. В правой – нуль.Метод интервалов основан на следующем свойстве дробно-рациональной функции.Дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует. Найдем нули функции в левой части нашего неравенства. Для этого разложим числитель на множители. Напомним, как раскладывается на множители квадратный трехчлен, то есть выражение вида . Рисуем ось и расставляем точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в нуль.Эти точки разбивают ось на N промежутков.Определим знак дробно-рациональной функции в левой части нашего неравенства на каждом из этих промежутков. Мы помним, что дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует. Это значит, что на каждом из промежутков между точками, где числитель или знаменатель обращаются в нуль, знак выражения в левой части неравенства будет постоянным — либо «плюс», либо «минус».
Объяснение:
Во-первых, разберемся с записью.
A - 7/A + 4/B = 1
Предположим, что A стоит отдельно, а в числителе дроби только 7.
При этом мы знаем, что А и В - двузначные числа.
Если даже А = 10, минимальное двузначное число, то получается:
10 - 7/10 + 4/B = 1
4/B = 1 - 10 + 7/10 = -8,3 < 0
Отсюда B < 0, а этого быть не может.
Значит, запись совсем другая:
(A-7)/A + 4/B = 1
То есть в числителе стоит (A-7), а не просто 7. Теперь все понятно:
A/A - 7/A + 4/B = 1
1 - 7/A + 4/B = 1
4/B - 7/A = 0
4/B = 7/A
Это одинаковые дроби, причем с двузначными знаменателями.
Ясно, что если дроби равны, то A > B, потому что 7 > 4.
При этом 10 <= B < A <= 99, так как числа A и B - двузначные.
1) Если A = 21, B = 12, то
4/B = 7/A
4/12 = 7/21 = 1/3.
Наименьшее A = 21.
2) Если A = 98, B = 56, то
4/B = 7/A
4/56 = 7/98 = 1/14.
Наибольшее B = 56.
Метод интервалов позволяет решить его за пару минут.В левой части этого неравенства – дробно-рациональная функция. Рациональная, потому что не содержит ни корней, ни синусов, ни логарифмов – только рациональные выражения. В правой – нуль.Метод интервалов основан на следующем свойстве дробно-рациональной функции.Дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует. Найдем нули функции в левой части нашего неравенства. Для этого разложим числитель на множители. Напомним, как раскладывается на множители квадратный трехчлен, то есть выражение вида . Рисуем ось и расставляем точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в нуль.Эти точки разбивают ось на N промежутков.Определим знак дробно-рациональной функции в левой части нашего неравенства на каждом из этих промежутков. Мы помним, что дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует. Это значит, что на каждом из промежутков между точками, где числитель или знаменатель обращаются в нуль, знак выражения в левой части неравенства будет постоянным — либо «плюс», либо «минус».