Представим выражение в виде |y| + |y - 3x| + |y - (1 - x)|. Геометрический смысл модуля: |a - b| — расстояние между точками a и b на числовой прямой.
Пусть x — такой, при котором достигается минимум. Обозначим x1 <= x2 <= x3 — значения 0, 3x, 1 - x в порядке возрастания. Необходимо найти такой y, что сумма расстояний до трёх точек x1, x2, x3 минимальна. Я утверждаю, что минимум будет достигнут, если y = x2.
Действительно, пусть y > x3 >= x2. Сдвинем точку немного влево. Все расстояния уменьшатся, тогда сумма тоже уменьшится. Продолжаем двигать, пока y не сравняется с x3.
Если x3 >= y > x2, тоже сдвинем точку немного левее. Сумма расстояний до точек x2 и x3 постоянна и равна x3 - x2, а расстояние до x1 уменьшится. Продолжаем двигать, пока y не сравняется с x2.
Рассуждая точно так же о движении справа от x2, получаем, что в точке x2 достигается минимум, причём этот минимум равен x3 - x1.
Итак, нам удалось избавиться от y. Нужно решать такую задачу: Найти минимум выражения f(x) = max(0, 3x, 1 - x) - min(0, 3x, 1 - x).
Перебираем случаи.
1) 3x — максимум. Тогда 3x >= 0, 3x >= 1 - x. Первое неравенство: x >= 0 Второе неравенство: 4x >= 1; x >= 1/4. Итог: так будет при x >= 1/4. а) 0 — минимум. 0 <= 1 - x, x <= 1. Так будет при x из отрезка [1/4, 1]. f(x) = 3x - 0 = 3x — возрастающая функция, минимум достигается в левом конце отрезка. min = f(1/4) = 3 * 1/4 = 3/4 б) 1 - x — минимум. Так будет при x >= 1. f(x) = 3x - (1 - x) = 4x - 1 — возрастает, минимум достигается в x = 1, min = f(1) = 3.
2) 1 - x — максимум. (1 - x >= 3x, 1 - x >= 0. Тогда x <= 1/4) а) 0 — минимум (0 <= 3x, всё это выполнено, если x в отрезке [0, 1/4]) f(x) = 1 - x - 0 = 1 - x — убывающая функция, минимум в правом конце отрезка. min = f(1/4) = 1 - 1/4 = 3/4. б) 3x — минимум (x <= 0). f(x) = 1 - x - 3x = 1 - 4x — убывающая функция, минимум в правом конце отрезка. min = f(0) = 1.
3) 0 — максимум. Ничего интересного не будет, два случая выше уже покрыли все возможные x.
Тут рулят , кажется, если не забыл, формулы привидения. sin315°= sin(360°-45°)= -sin(45°) // тут стоит минус, так как наша функция находится в 4-ой четверти, синус это же игрек на системе координат, а игрек в 4-ой четверти отрицательный. 2 | 1
3 | 4 схематичная система координат )) тут я показал где находятся четверти.
cos315°= cos(360°-45°)= +cos45° // тут стоит плюс, так как косинус это икс и он в 4-ой четверти положительный.
tg(315°) = tg(360°-45°)= -tg(45°) // тут стоит минус, так как тангенс в 4-ой четверти отрицательный, тангенс это sin÷cos или y÷x, в нашем случаи будет так: tg(360°-45°)= -sin45°÷cos45°= -tg45°
ctg(315°) = ctg(360°-45°)= -ctg(45°) // тут все тоже самое, что и в tg , но только катангес это cos÷sin или x÷y => ctg(360°-45°)= cos45°÷(-sin45°)= -ctg45°
Геометрический смысл модуля: |a - b| — расстояние между точками a и b на числовой прямой.
Пусть x — такой, при котором достигается минимум. Обозначим x1 <= x2 <= x3 — значения 0, 3x, 1 - x в порядке возрастания. Необходимо найти такой y, что сумма расстояний до трёх точек x1, x2, x3 минимальна. Я утверждаю, что минимум будет достигнут, если y = x2.
Действительно, пусть y > x3 >= x2. Сдвинем точку немного влево. Все расстояния уменьшатся, тогда сумма тоже уменьшится. Продолжаем двигать, пока y не сравняется с x3.
Если x3 >= y > x2, тоже сдвинем точку немного левее. Сумма расстояний до точек x2 и x3 постоянна и равна x3 - x2, а расстояние до x1 уменьшится. Продолжаем двигать, пока y не сравняется с x2.
Рассуждая точно так же о движении справа от x2, получаем, что в точке x2 достигается минимум, причём этот минимум равен x3 - x1.
Итак, нам удалось избавиться от y. Нужно решать такую задачу:
Найти минимум выражения f(x) = max(0, 3x, 1 - x) - min(0, 3x, 1 - x).
Перебираем случаи.
1) 3x — максимум. Тогда 3x >= 0, 3x >= 1 - x.
Первое неравенство: x >= 0
Второе неравенство: 4x >= 1; x >= 1/4.
Итог: так будет при x >= 1/4.
а) 0 — минимум. 0 <= 1 - x, x <= 1. Так будет при x из отрезка [1/4, 1].
f(x) = 3x - 0 = 3x — возрастающая функция, минимум достигается в левом конце отрезка. min = f(1/4) = 3 * 1/4 = 3/4
б) 1 - x — минимум. Так будет при x >= 1.
f(x) = 3x - (1 - x) = 4x - 1 — возрастает, минимум достигается в x = 1, min = f(1) = 3.
2) 1 - x — максимум. (1 - x >= 3x, 1 - x >= 0. Тогда x <= 1/4)
а) 0 — минимум (0 <= 3x, всё это выполнено, если x в отрезке [0, 1/4])
f(x) = 1 - x - 0 = 1 - x — убывающая функция, минимум в правом конце отрезка.
min = f(1/4) = 1 - 1/4 = 3/4.
б) 3x — минимум (x <= 0).
f(x) = 1 - x - 3x = 1 - 4x — убывающая функция, минимум в правом конце отрезка.
min = f(0) = 1.
3) 0 — максимум. Ничего интересного не будет, два случая выше уже покрыли все возможные x.
Выбираем из четырёх значений наименьшее, это 3/4.
ответ. 3/4
sin315°= sin(360°-45°)= -sin(45°) // тут стоит минус, так как наша функция находится в 4-ой четверти, синус это же игрек на системе координат, а игрек в 4-ой четверти отрицательный.
2 | 1
3 | 4
схематичная система координат )) тут я показал где находятся четверти.
cos315°= cos(360°-45°)= +cos45° // тут стоит плюс, так как косинус это икс и он в 4-ой четверти положительный.
tg(315°) = tg(360°-45°)= -tg(45°) // тут стоит минус, так как тангенс в 4-ой четверти отрицательный, тангенс это sin÷cos или y÷x, в нашем случаи будет так: tg(360°-45°)= -sin45°÷cos45°= -tg45°
ctg(315°) = ctg(360°-45°)= -ctg(45°) // тут все тоже самое, что и в tg , но только катангес это cos÷sin или x÷y => ctg(360°-45°)= cos45°÷(-sin45°)=
-ctg45°