Осталось доказать, что при любом целом k число k (k - 1)(2k - 1) делится на 6. 1) Числа k, k - 1 - разной чётности, поэтому одно из них делится на 2, а значит, и всё произведение делится на 2. 2) Докажем делимость на 3. Пусть ни k, ни k - 1 не делятся на 3 (иначе утверждение заведомо верно). Тогда k представимо в виде k = 3m + 2, m - целое. Подставим такое k в выражение 2k - 1. 2k - 1 = 2(3m + 2) - 1 = 6m + 3 = 3(2m + 1) То, что стоит в скобках, - целое число, поэтому 2k - 1 делится на 3.
Для завершения доказательства отметим, что если число делится на 2 и на 3, то оно делится и на 6.
n/12 + n^2/8 + n^3/24 = k/6 + k^2/2 + k^3/3 = k/6 * (1 + 3k + 2k^2) = k/6 * (k - 1)(2k - 1) = k (k - 1)(2k - 1) / 6
Осталось доказать, что при любом целом k число k (k - 1)(2k - 1) делится на 6.
1) Числа k, k - 1 - разной чётности, поэтому одно из них делится на 2, а значит, и всё произведение делится на 2.
2) Докажем делимость на 3. Пусть ни k, ни k - 1 не делятся на 3 (иначе утверждение заведомо верно). Тогда k представимо в виде k = 3m + 2, m - целое. Подставим такое k в выражение 2k - 1.
2k - 1 = 2(3m + 2) - 1 = 6m + 3 = 3(2m + 1)
То, что стоит в скобках, - целое число, поэтому 2k - 1 делится на 3.
Для завершения доказательства отметим, что если число делится на 2 и на 3, то оно делится и на 6.
(1): Т. Пифагора c^2 = a^2 + b^2
(2): Периметр: a + b + c = 60
(3): Подсчет площади двумя
Выразим c = 60 - a - b и возведём это уравнение в квадрат:
c^2 = 3600 + a^2 + b^2 + 2ab - 120a - 120b
Принимая во внимание (1) и (3), получаем
0 = 3600 + 24c - 120(a + b)
5(a + b) = c + 150
Из (2) a + b = 60 - c:
300 - 5c = c + 150
6c = 150
c = 25
Из (2) и (3) получаем систему уравнений на a и b:
{a + b = 35; ab = 300}
По теореме Виета a, b - корни уравнения
t^2 - 35t + 300 = 0
t1 = 15; t2 = 20
ответ. 15 см, 20 см, 25 см.