Исследуйте на четность функцию :
1) y = f(x) = - 8x + x² + x³
2) y = f(x) = √(x³ + x²) - 31*| x³ |
ни четные ,ни нечетные
Объяснение:
1)
f(x) = - 8x + x² + x³ ; Область Определения Функции: D(f) = R
функция ни чётная ,ни нечётная
проверяем:
Функция является четной, когда f(x)=f(-x) , нечетной, когда f(-x)=-f(x)
а) f(-x) = - 8*(-x) +(- x)² +(- x)³ = 8x + x² - x³ ≠ f(-x)
Как видим, f(x)≠f(-x), значит функция не является четной.
б)
f(-x) ≠ - f(-x) → функция не является нечетной
- - - - - -
2)
y = f(x) = √(x³ + x²) - 31*| x³ | ,
D(f) : x³ + x² ≥ 0 ⇔ x²(x+1) ≥ 0 ⇒ x ≥ -1 * * * x ∈ [ -1 ; ∞) * * *
ООФ не симметрично относительно начало координат
* * * не определен , если x ∈ ( -∞ ; - 1) * * *
Касательная задается уравнением:
y = f ’(x₀) · (x − x₀) + f (x₀)
Здесь f ’(x₀) — значение производной в точке x₀, а f (x₀) — значение самой функции.
Находим производную в точке х₀:
f'(x₀) = -2x₀ - 5.
Функция в точке х₀ имеет вид: f(x₀) = -х₀² - 5х₀ - 6.
Тогда уравнение касательной будет таким:
у = (-2х₀ - 5)*(х - х₀) - х₀² - 5х₀ - 6.
Раскроем скобки и приведём подобные:
у = -2х*х₀- 5х + 2х₀² + 5х₀ - х₀² - 5х₀ - 6.
у = х₀² -2х*х₀ - 5х - 6.
Так как касательная проходит через точку М, то подставим её координаты в полученное уравнение.
1 = х₀² + 2х₀ + 5 - 6.
Получаем квадратное уравнение х₀² + 2х₀ - 2 = 0.
Решаем его, считая х₀ как х.
Квадратное уравнение, решаем относительно x:
Ищем дискриминант:
D=2^2-4*1*(-2)=4-4*(-2)=4-(-4*2)=4-(-8)=4+8=12;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁ = (√12-2)/(2*1) = √12/2-2/2 = √12/2-1 = √3 - 1 ≈ 0.73205081;
x₂ = (-√12-2)/(2*1) = -√12/2-2/2 = -√12/2-1 = -√3 - 1 ≈ -2.73205081.
Теперь, зная точки касания, можно составить уравнения касательных.
f'(x₀) = -2x₀ - 5 = -2(√3 - 1) - 5 = -2√3 - 3.
f(x₀) = -х₀² - 5х₀ - 6 = -(√3 - 1)² - 5(√3 - 1) - 6 =
= -(3 - 2√3 + 1) - 5√3 + 5 - 6 = -3√3 - 5.
y = f ’(x₀) · (x − x₀) + f (x₀) = (-2√3 - 3)(x + 2√3 + 3) - 3√3 - 5.
После упрощения получаем общее уравнение первой касательной:
Исследуйте на четность функцию :
1) y = f(x) = - 8x + x² + x³
2) y = f(x) = √(x³ + x²) - 31*| x³ |
ни четные ,ни нечетные
Объяснение:
1)
f(x) = - 8x + x² + x³ ; Область Определения Функции: D(f) = R
функция ни чётная ,ни нечётная
проверяем:
Функция является четной, когда f(x)=f(-x) , нечетной, когда f(-x)=-f(x)
а) f(-x) = - 8*(-x) +(- x)² +(- x)³ = 8x + x² - x³ ≠ f(-x)
Как видим, f(x)≠f(-x), значит функция не является четной.
б)
f(-x) ≠ - f(-x) → функция не является нечетной
- - - - - -
2)
y = f(x) = √(x³ + x²) - 31*| x³ | ,
D(f) : x³ + x² ≥ 0 ⇔ x²(x+1) ≥ 0 ⇒ x ≥ -1 * * * x ∈ [ -1 ; ∞) * * *
ООФ не симметрично относительно начало координат
* * * не определен , если x ∈ ( -∞ ; - 1) * * *
функция ни чётная ,ни нечётная
Касательная задается уравнением:
y = f ’(x₀) · (x − x₀) + f (x₀)
Здесь f ’(x₀) — значение производной в точке x₀, а f (x₀) — значение самой функции.
Находим производную в точке х₀:
f'(x₀) = -2x₀ - 5.
Функция в точке х₀ имеет вид: f(x₀) = -х₀² - 5х₀ - 6.
Тогда уравнение касательной будет таким:
у = (-2х₀ - 5)*(х - х₀) - х₀² - 5х₀ - 6.
Раскроем скобки и приведём подобные:
у = -2х*х₀- 5х + 2х₀² + 5х₀ - х₀² - 5х₀ - 6.
у = х₀² -2х*х₀ - 5х - 6.
Так как касательная проходит через точку М, то подставим её координаты в полученное уравнение.
1 = х₀² + 2х₀ + 5 - 6.
Получаем квадратное уравнение х₀² + 2х₀ - 2 = 0.
Решаем его, считая х₀ как х.
Квадратное уравнение, решаем относительно x:
Ищем дискриминант:
D=2^2-4*1*(-2)=4-4*(-2)=4-(-4*2)=4-(-8)=4+8=12;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁ = (√12-2)/(2*1) = √12/2-2/2 = √12/2-1 = √3 - 1 ≈ 0.73205081;
x₂ = (-√12-2)/(2*1) = -√12/2-2/2 = -√12/2-1 = -√3 - 1 ≈ -2.73205081.
Теперь, зная точки касания, можно составить уравнения касательных.
f'(x₀) = -2x₀ - 5 = -2(√3 - 1) - 5 = -2√3 - 3.
f(x₀) = -х₀² - 5х₀ - 6 = -(√3 - 1)² - 5(√3 - 1) - 6 =
= -(3 - 2√3 + 1) - 5√3 + 5 - 6 = -3√3 - 5.
y = f ’(x₀) · (x − x₀) + f (x₀) = (-2√3 - 3)(x + 2√3 + 3) - 3√3 - 5.
После упрощения получаем общее уравнение первой касательной:
0,8x - 1,73y + 2,54 = 0.Аналогично получаем уравнение второй касательной:
11,2x + 1,73y + 9,46 = 0.