В
Все
М
Математика
А
Английский язык
Х
Химия
Э
Экономика
П
Право
И
Информатика
У
Українська мова
Қ
Қазақ тiлi
О
ОБЖ
Н
Немецкий язык
Б
Беларуская мова
У
Українська література
М
Музыка
П
Психология
А
Алгебра
Л
Литература
Б
Биология
М
МХК
О
Окружающий мир
О
Обществознание
И
История
Г
Геометрия
Ф
Французский язык
Ф
Физика
Д
Другие предметы
Р
Русский язык
Г
География
Андре127
Андре127
12.01.2023 12:20 •  Алгебра

Найдите целое значение параметра a, при котором сумма квадратов корней уравнения x^2 +x−2ax+ 2+a^2 = 0 принимает наименьшее значение

Показать ответ
Ответ:
yoonnie4138
yoonnie4138
05.05.2020 12:54

А вообще интересная задача, по ходу решения возникают некоторые интересности, которые обязательно отметим.

Перепишем уравнение в более красивый и читаемый вид:

Это уравнение приведенное уже, поэтому коэффициенты в таком виде.

Теперь запишем теорему Виета:

Но нам нужна сумма квадратов корней уравнения, но это не проблема, у нас есть все, чтобы выразить её через известные величины.

И вот здесь сейчас начнется веселье.

Нам нужно, чтобы это выражение было наименьшим.

Исследуя функцию , понимаем, что это парабола с ветвями, направленными вверх, то есть точка минимума в вершине, она же единственный экстремум, который находится из уравнения

Вроде бы нашли это значение. Но давайте проверим его)

Но это неудивительно. Вот те самые самые интересные моменты.

Почему вообще так получилось? Есть такая вещь в математике, как комплексные числа. Кратко: нужно решить уравнение , математикам очень захотелось, поэтому уравнение имеет решения, конкретно у этого уравнения их два, это

- мнимая единица, такое число, что

Комплексное число имеет вид: , то есть у него есть мнимая и действительная часть.

Так вот: у любого уравнения, у которого вид , где - многочлен n-ой степени, всегда будет n корней (учитывая их кратность), по следствию из основной теоремы алгебры. Это я к чему. У квадратного уравнения всегда 2 корня. Просто в ситуациях, когда , эти корни комплексные, в ситуации , корень то один, но кратности 2, но вообще считают, что два равных корня.

В целом, у задачки вид ЕГЭшный, поэтому надо бы ограничиться множеством действительных чисел, но если бы подразумевалось, что мы анализируем и множество комплексных чисел, то ответ был бы . Нужно продолжить. Но пока покажу, почему теорема Виета работает исправно в любых случаях.

Дорешаем уравнение при

А ведь это именно то, что мы получим по теореме Виета)))

Как же не влезать в комплексные числа?

Очевидно, что дискриминант у нашего исходного уравнения не должен быть отрицательным, то есть:

Единица находится в другой стороне от нашего полученного множества значений . Получается, что сумма квадратов корней уравнения будет побольше, чем при , и минимальное нецелое это , там будет 2 равных корня. А ближайшее целое значение, удовлетворяющее условию, это .

0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Алгебра
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота