Найдите функцию f(x) по ее производной f'(x) и условию f(a)=b
F'(x)=sin2x+3x^,F(0)=2

Исследовать функцию на экстремум y = (x^3) - 4*(x^2)
Решение
Находим первую производную функции:
y' = 3*(x^2) - 8x
или
y' = x(3x - 8)
Приравниваем ее к нулю:
x(3x - 8) = 0
x1 = 0
3x - 8 = 0
x2 = 8/3
Вычисляем значения функции 
f(0) = 0
f(8/3) = - 256/27
ответ: fmin = -256/27, fmax = 0
Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:
y'' = 6x - 8
Вычисляем:
y''(0) = - 8 < 0 - значит точка x = 0 точка максимума функции.
y''(8/3) = 8 > 0 - значит точка x = 8/3 точка минимума функции.1. 

За 1 час через 1 кран поступит x л воды, а через 2 кран y л воды
17(x + y) = 425
x + y = 25
y = 25 - x
Первый кран был открыт а часов, а второй кран а - 5 часов
ax + (a - 5)(25 - x) = 425
Если первый кран открыть на а - 5 часов, а второй на а часов, то через первый зальется в 2 раза меньше.
x(a - 5)*2 = (25 - x)*a
Получили систему из 2 уравнений с 2 неизвестными
{ ax + (a - 5)(25 - x) = 425
{ 2x(a - 5) = (25 - x)*a
Раскрываем скобки
{ ax + 25a - 125 - ax + 5x = 425
{ 2ax - 10x - 25a + ax = 0
Приводим подобные
{ 25a + 5x = 550
{ 3ax - 10x - 25a = 0
Делим 1 уравнение на 5 и выражаем х через а
{ 5a + x = 110, x = 110 - 5a
{ 3ax - 10x - 25a = 0
3a(110 - 5a) - 10(110 - 5a) - 25a = 0
Делим уравнение на 5 и раскрываем скобки
3a*22 - 3a^2 - 220 + 10a - 5a = 0
Меняем знак и приводим подобные
3a^2 - 71a + 220 = 0
D = 71^2 - 4*3*220 = 5041 - 2640 = 2401 = 49^2
a1 = (71 + 49)/6 = 120/6 = 20
a2 = (71 - 49)/6 = 22/6 < 5 - не может быть, потому что в уравнении было положительное число а - 5.
Значит, а = 20, а второй кран был открыт а - 5 = 20 - 5 = 15 часов.
Производительность кранов
x = 110 - 5a = 110 - 5*20 = 10 л/час, y = 25 - x = 25 - 10 = 15 л/ч