Найдите корни симметрического многочлена:
1) х4+5х3+2х2+5х+1
2)х4+2х3-х2-2х+1
3)х3-2х2-2х+1
, нужно ​,сколько сможете

Объяснение:

1) x^4 + 5x^3 + 2x^2 + 5x + 1 = 0

Делим все на x^2

x^2 + 5x + 2 + 5/x + 1/x^2 = 0

(x^2 + 2 + 1/x^2) + 5*(x + 1/x) = 0

Замена y = x + 1/x, тогда y^2 = (x + 1/x)^2 = x^2 + 2 + 1/x^2

y^2 + 5y = 0

y(y + 5) = 0

y1 = x + 1/x = 0

Умножаем все на x

x^2 + 1 = 0 - решений нет.

y2 = x + 1/x = -5

Умножаем все на x

x^2 + 1 = -5x

x^2 + 5x + 1 = 0

D = 5^2 - 4*1*1 = 25 - 4 = 21

x1 = (-5 - √21)/2; x2 = (-5 + √21)/2

2) Делается точно также.

x^4 + 2x^3 - x^2 - 2x + 1 = 0

x^2 + 2x - 1 - 2/x + 1/x^2 = 0

(x^2 + 1/x^2) + 2(x - 1/x) - 1 = 0

Замена y = x - 1/x; y^2 = (x - 1/x)^2 = x^2 - 2 + 1/x^2

Отсюда x^2 + 1/x^2 = y^2 + 2

(y^2 + 2) + 2y - 1 = 0

y^2 + 2y + 1 = 0

(y + 1)^2 = 0

y1 = y2 = x - 1/x = -1

Умножаем все на x

x^2 + x - 1 = 0

D = 1^2 - 4*1(-1) = 1 + 4 = 5

x1 = (-1 - √5)/2; x2 = (-1 + √5)/2

3) Здесь чуть по-другому, потому что степень нечетная.

x^3 - 2x^2 - 2x + 1 = 0

(x^3 + 1) - 2x(x + 1) = 0

Раскладываем сумму кубов на скобки

(x + 1)(x^2 - x + 1) - 2x(x + 1) = 0

Выносим (x + 1) за скобки

(x + 1)(x^2 - x - 1 - 2x) = 0

x1 = -1

x^2 - 3x - 1 = 0

D = 3^2 - 4*1(-1) = 9 + 4 = 13

x2 = (3 - √13)/2; x3 = (3 + √13)/2