Для поиска экстремумов функции надо найти её первую производную по аргументу х, приравнять её нулю и решить относительно х полученное уравнение. Берем натуральный логарифм от обоих частей уравнения: Итак, функция имеет один экстремум в точке х=0. Определим знак первой производной справа и слева от этой точки, подставляя в выражение для производной значения х=-1 и х=1 (можно взять и другие значения, но поскольку экстремум один, конкретные значения не играют роли и лучше брать точки, где проще оценить значение выражения). Мы видим, что слева от точки х=0 производная отрицательна, справа - положительна, следовательно в точке х=0 функция имеет минимум. Вычислим его. Функция на отрезке [-2;1] в точке х=0 имеет минимум, равный 7.
Примечание. Можно формально придраться к решению, указав что нигде не было использовано левое значение интервала (х=-2), на котором отыскивается минимум. Но, как было замечено выше, функция не имеет точек экстремума при х<0, поэтому было достаточно использовать значение х=-1. Тем не менее, можем подставить в выражение производной значение х=-2 и убедиться, что и в этой точке производная отрицательна:
Берем натуральный логарифм от обоих частей уравнения:
Итак, функция имеет один экстремум в точке х=0.
Определим знак первой производной справа и слева от этой точки, подставляя в выражение для производной значения х=-1 и х=1 (можно взять и другие значения, но поскольку экстремум один, конкретные значения не играют роли и лучше брать точки, где проще оценить значение выражения).
Мы видим, что слева от точки х=0 производная отрицательна, справа - положительна, следовательно в точке х=0 функция имеет минимум.
Вычислим его.
Функция на отрезке [-2;1] в точке х=0 имеет минимум, равный 7.
Примечание. Можно формально придраться к решению, указав что нигде не было использовано левое значение интервала (х=-2), на котором отыскивается минимум. Но, как было замечено выше, функция не имеет точек экстремума при х<0, поэтому было достаточно использовать значение х=-1. Тем не менее, можем подставить в выражение производной значение х=-2 и убедиться, что и в этой точке производная отрицательна: