Букв у нас 10, 3 буквы А, по 2 буквы М и Т, и по одной Е, И и К. На первую позицию можно ставить одну из десяти букв, на вторую, одну из девяти и т.д. Получим: 10! Найдём количество которыми можно составить слово математика из данного набора букв при учёте позиции той или иной буквы. Е, И и К могут занимать только одну позицию, а вот А, М и Т можно менять местами. Для М и Т это будет 2! и 2!, для А – 3! С учётом порядка позиции их будет: Тогда вероятность (согласно классическому определению):
Попробуем другой, более простой Перестановки с повторением. Всего у нас Перестановка с повторением, которая даёт нам слово "Математика" всего одна, потому мы получаем вероятность:
Приравнять к нулю и решить как квадратное уравнение:
(х -4)(х-6) = 0
х² - 6х - 4х + 24 = 0
х² - 10х + 24 = 0
D=b²-4ac = 100 - 96 = 4 √D=2
х₁=(-b-√D)/2a
х₁=(10-2)/2
х₁=8/2
х₁=4;
х₂=(-b+√D)/2a
х₂=(10+2)/2
х₂=12/2
х₂=6.
Теперь начертить СХЕМУ параболы (ничего вычислять не нужно), которую выражает данное уравнение, ветви направлены вверх, парабола пересекает ось Ох при х= 4 и х= 6, отмечаем эти точки схематично, смотрим на график.
По графику ясно видно, что у < 0 (график ниже оси Ох) при х∈(4; 6).
Неравенство строгое, скобки круглые.
Решение неравенства х∈(4; 6).
б) (х+8)(х+5) ≤ 0;
Приравнять к нулю и решить как квадратное уравнение:
(х+8)(х+5) = 0
х² + 5х + 8х + 40 = 0
х² + 13х + 40 = 0
D=b²-4ac =169 - 160 = 9 √D=3
х₁=(-b-√D)/2a
х₁=(-13-3)/2
х₁= -16/2
х₁= -8;
х₂=(-b+√D)/2a
х₂=(-13+3)/2
х₂= -10/2
х₂= -5.
Теперь начертить СХЕМУ параболы (ничего вычислять не нужно), которую выражает данное уравнение, ветви направлены вверх, парабола пересекает ось Ох при х= -8 и х= -5, отмечаем эти точки схематично, смотрим на график.
По графику ясно видно, что у <= 0 (график ниже оси Ох) при х∈[-8; -5].
Причём х= -8 и х= -5 входят в интервал решений неравенства.
Неравенство нестрогое, скобки квадратные.
Решение неравенства х∈[-8; -5].
в) (5 – х)(х+0,8)≥0;
Приравнять к нулю и решить как квадратное уравнение:
Теперь начертить СХЕМУ параболы (ничего вычислять не нужно), которую выражает данное уравнение, ветви направлены вниз, парабола пересекает ось Ох при х= -0,8 и х= 5, отмечаем эти точки схематично, смотрим на график.
По графику ясно видно, что у>= 0 (график выше оси Ох) при х∈[-0,8; 5].
Причём х= -0,8 и х= 5 входят в интервал решений неравенства.
Неравенство нестрогое, скобки квадратные.
Решение неравенства х∈[-0,8; 5].
г) (2х -4)х > 0.
Приравнять к нулю и решить как квадратное уравнение:
2х² - 4х = 0
Разделить уравнение на 2 для упрощения:
х² - 2х = 0 Неполное квадратное уравнение.
х(х - 2) = 0
х₁ = 0;
х - 2 = 0
х₂ = 2.
Теперь начертить СХЕМУ параболы (ничего вычислять не нужно), которую выражает данное уравнение, ветви направлены вверх, парабола пересекает ось Ох при х= 0 и х= 2, отмечаем эти точки схематично, смотрим на график.
По графику ясно видно, что у > 0 (график выше оси Ох)
при х∈(-∞; 0)∪(2; +∞).
Неравенство строгое, скобки круглые.
Решение неравенства х∈(-∞; 0)∪(2; +∞).
д) х² - 7х + 12 > 0;
Приравнять к нулю и решить как квадратное уравнение:
х² - 7х + 12 = 0
D=b²-4ac = 49 - 48 = 1 √D= 1
х₁=(-b-√D)/2a
х₁=(7-1)/2
х₁=6/2
х₁=3;
х₂=(-b+√D)/2a
х₂=(7+1)/2
х₂=8/2
х₂=4.
Теперь начертить СХЕМУ параболы (ничего вычислять не нужно), которую выражает данное уравнение, ветви направлены вверх, парабола пересекает ось Ох при х= 3 и х= 4, отмечаем эти точки схематично, смотрим на график.
По графику ясно видно, что у > 0 (график выше оси Ох)
при х∈(-∞; 3)∪(4; +∞).
Неравенство строгое, скобки круглые.
Решение неравенства х∈(-∞; 3)∪(4; +∞).
ж) 4х² + 12х + 9 ≤ 0;
Приравнять к нулю и решить как квадратное уравнение:
4х² + 12х + 9 = 0
D=b²-4ac = 144 - 144 = 0 √D= 0
Уравнение имеет один корень, это значит, что парабола не пересекает ось Ох в двух точках, а "стоит" на оси Ох.
х=(-b±√D)/2a
х=(-12±0)/8
х= -12/8
х= -1,5.
Теперь начертить СХЕМУ параболы (ничего вычислять не нужно), которую выражает данное уравнение, ветви направлены вверх, вершина параболы имеет абсциссу (значение х) равное -1,5, отмечаем эту точку схематично, смотрим на график.
По графику ясно видно, что неравенство имеет только одно решение, х = -1,5. Запись в фигурных скобках.
Решение неравенства х∈{-1,5}.
з) - х² + 2х + 15 > 0;
Приравнять к нулю и решить как квадратное уравнение:
- х² + 2 х + 15 = 0/-1 Уравнение параболы, график которой строить.
х² - 2 х - 15 = 0
D=b²-4ac = 4 + 60 = 64 √D= 8
х₁=(-b-√D)/2a
х₁=(2-8)/2
х₁= -6/2
х₁= -3;
х₂=(-b+√D)/2a
х₂=(2+8)/2
х₂=10/2
х₂=5.
Теперь начертить СХЕМУ параболы (ничего вычислять не нужно), которую выражает данное уравнение, ветви направлены вниз, парабола пересекает ось Ох при х= -3 и х= 5, отмечаем эти точки схематично, смотрим на график.
По графику ясно видно, что у > 0 (график выше оси Ох) при х∈(-3; 5).
На первую позицию можно ставить одну из десяти букв, на вторую, одну из девяти и т.д. Получим: 10!
Найдём количество которыми можно составить слово математика из данного набора букв при учёте позиции той или иной буквы.
Е, И и К могут занимать только одну позицию, а вот А, М и Т можно менять местами.
Для М и Т это будет 2! и 2!, для А – 3!
С учётом порядка позиции их будет:
Тогда вероятность (согласно классическому определению):
Попробуем другой, более простой
Перестановки с повторением.
Всего у нас
Перестановка с повторением, которая даёт нам слово "Математика" всего одна, потому мы получаем вероятность:
В решении.
Объяснение:
Решить неравенство:
а) (х -4)(х-6) < 0;
Приравнять к нулю и решить как квадратное уравнение:
(х -4)(х-6) = 0
х² - 6х - 4х + 24 = 0
х² - 10х + 24 = 0
D=b²-4ac = 100 - 96 = 4 √D=2
х₁=(-b-√D)/2a
х₁=(10-2)/2
х₁=8/2
х₁=4;
х₂=(-b+√D)/2a
х₂=(10+2)/2
х₂=12/2
х₂=6.
Теперь начертить СХЕМУ параболы (ничего вычислять не нужно), которую выражает данное уравнение, ветви направлены вверх, парабола пересекает ось Ох при х= 4 и х= 6, отмечаем эти точки схематично, смотрим на график.
По графику ясно видно, что у < 0 (график ниже оси Ох) при х∈(4; 6).
Неравенство строгое, скобки круглые.
Решение неравенства х∈(4; 6).
б) (х+8)(х+5) ≤ 0;
Приравнять к нулю и решить как квадратное уравнение:
(х+8)(х+5) = 0
х² + 5х + 8х + 40 = 0
х² + 13х + 40 = 0
D=b²-4ac =169 - 160 = 9 √D=3
х₁=(-b-√D)/2a
х₁=(-13-3)/2
х₁= -16/2
х₁= -8;
х₂=(-b+√D)/2a
х₂=(-13+3)/2
х₂= -10/2
х₂= -5.
Теперь начертить СХЕМУ параболы (ничего вычислять не нужно), которую выражает данное уравнение, ветви направлены вверх, парабола пересекает ось Ох при х= -8 и х= -5, отмечаем эти точки схематично, смотрим на график.
По графику ясно видно, что у <= 0 (график ниже оси Ох) при х∈[-8; -5].
Причём х= -8 и х= -5 входят в интервал решений неравенства.
Неравенство нестрогое, скобки квадратные.
Решение неравенства х∈[-8; -5].
в) (5 – х)(х+0,8)≥0;
Приравнять к нулю и решить как квадратное уравнение:
(5 – х)(х+0,8) = 0
5х + 4 - х² - 0,8х = 0
-х² + 4,2х + 4 = 0/-1 Уравнение параболы, график которой строить.
х² - 4,2х - 4 = 0
D=b²-4ac = 17,64 + 16 = 33,64 √D=5,8
х₁=(-b-√D)/2a
х₁=(4,2-5,8)/2
х₁= -1,6/2
х₁= -0,8;
х₂=(-b+√D)/2a
х₂=(4,2+5,8)/2
х₂=10/2
х₂=5.
Теперь начертить СХЕМУ параболы (ничего вычислять не нужно), которую выражает данное уравнение, ветви направлены вниз, парабола пересекает ось Ох при х= -0,8 и х= 5, отмечаем эти точки схематично, смотрим на график.
По графику ясно видно, что у>= 0 (график выше оси Ох) при х∈[-0,8; 5].
Причём х= -0,8 и х= 5 входят в интервал решений неравенства.
Неравенство нестрогое, скобки квадратные.
Решение неравенства х∈[-0,8; 5].
г) (2х -4)х > 0.
Приравнять к нулю и решить как квадратное уравнение:
2х² - 4х = 0
Разделить уравнение на 2 для упрощения:
х² - 2х = 0 Неполное квадратное уравнение.
х(х - 2) = 0
х₁ = 0;
х - 2 = 0
х₂ = 2.
Теперь начертить СХЕМУ параболы (ничего вычислять не нужно), которую выражает данное уравнение, ветви направлены вверх, парабола пересекает ось Ох при х= 0 и х= 2, отмечаем эти точки схематично, смотрим на график.
По графику ясно видно, что у > 0 (график выше оси Ох)
при х∈(-∞; 0)∪(2; +∞).
Неравенство строгое, скобки круглые.
Решение неравенства х∈(-∞; 0)∪(2; +∞).
д) х² - 7х + 12 > 0;
Приравнять к нулю и решить как квадратное уравнение:
х² - 7х + 12 = 0
D=b²-4ac = 49 - 48 = 1 √D= 1
х₁=(-b-√D)/2a
х₁=(7-1)/2
х₁=6/2
х₁=3;
х₂=(-b+√D)/2a
х₂=(7+1)/2
х₂=8/2
х₂=4.
Теперь начертить СХЕМУ параболы (ничего вычислять не нужно), которую выражает данное уравнение, ветви направлены вверх, парабола пересекает ось Ох при х= 3 и х= 4, отмечаем эти точки схематично, смотрим на график.
По графику ясно видно, что у > 0 (график выше оси Ох)
при х∈(-∞; 3)∪(4; +∞).
Неравенство строгое, скобки круглые.
Решение неравенства х∈(-∞; 3)∪(4; +∞).
ж) 4х² + 12х + 9 ≤ 0;
Приравнять к нулю и решить как квадратное уравнение:
4х² + 12х + 9 = 0
D=b²-4ac = 144 - 144 = 0 √D= 0
Уравнение имеет один корень, это значит, что парабола не пересекает ось Ох в двух точках, а "стоит" на оси Ох.
х=(-b±√D)/2a
х=(-12±0)/8
х= -12/8
х= -1,5.
Теперь начертить СХЕМУ параболы (ничего вычислять не нужно), которую выражает данное уравнение, ветви направлены вверх, вершина параболы имеет абсциссу (значение х) равное -1,5, отмечаем эту точку схематично, смотрим на график.
По графику ясно видно, что неравенство имеет только одно решение, х = -1,5. Запись в фигурных скобках.
Решение неравенства х∈{-1,5}.
з) - х² + 2х + 15 > 0;
Приравнять к нулю и решить как квадратное уравнение:
- х² + 2 х + 15 = 0/-1 Уравнение параболы, график которой строить.
х² - 2 х - 15 = 0
D=b²-4ac = 4 + 60 = 64 √D= 8
х₁=(-b-√D)/2a
х₁=(2-8)/2
х₁= -6/2
х₁= -3;
х₂=(-b+√D)/2a
х₂=(2+8)/2
х₂=10/2
х₂=5.
Теперь начертить СХЕМУ параболы (ничего вычислять не нужно), которую выражает данное уравнение, ветви направлены вниз, парабола пересекает ось Ох при х= -3 и х= 5, отмечаем эти точки схематично, смотрим на график.
По графику ясно видно, что у > 0 (график выше оси Ох) при х∈(-3; 5).
Неравенство строгое, скобки круглые.
Решение неравенства х∈(-3; 5).