В
Все
М
Математика
А
Английский язык
Х
Химия
Э
Экономика
П
Право
И
Информатика
У
Українська мова
Қ
Қазақ тiлi
О
ОБЖ
Н
Немецкий язык
Б
Беларуская мова
У
Українська література
М
Музыка
П
Психология
А
Алгебра
Л
Литература
Б
Биология
М
МХК
О
Окружающий мир
О
Обществознание
И
История
Г
Геометрия
Ф
Французский язык
Ф
Физика
Д
Другие предметы
Р
Русский язык
Г
География
MintTea1
MintTea1
19.08.2021 05:29 •  Алгебра

Найдите среднее арифметическое( в градусах) корней уравнения cos³x+sin³x =1 на промежутке [-2п; 2п]

Показать ответ
Ответ:
arkadikmxitary
arkadikmxitary
05.10.2020 00:40

\sin^3x+\cos ^3x=1\\ \\ (\sin x+\cos x)(\sin^2x-\sin x\cos x+\cos^2x)=1\\ \\ (\sin x+\cos x)(1-\sin x\cos x)=1

Пусть \sin x+\cos x=t~~\left(|t|\leq\sqrt{2}\right), возведя обе части равенства, получим 1+2\sin x\cos x=t^2~~\Rightarrow~~ \sin x\cos x=\dfrac{t^2-1}{2}

t\left(1-\dfrac{t^2-1}{2}\right)=1~~~|\cdot 2\\ \\ 2t-t^3+t=2\\ \\ t^3-3t+2=0\\ \\ t^3-t^2+t^2-t-2t+2=0\\ \\ t^2(t-1)+t(t-1)-2(t-1)=0\\ \\ (t-1)(t^2+t-2)=0 \\ \\ (t-1)^2(t+2)=0\\ t_1=1\\ t_2=-2

Второй корень t = -2 не удовлетворяет условию |t| ≤ √2.

\sin x+\cos x=1\\ \\ \sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1\\ \\ \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\ \\ x=(-1)^{k}\cdot \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{4}+\pi k,k \in \mathbb{Z}

Отбор корней

n = 0; x = π/2n = 1;  x = πn = -1;  x = -πn = -2; x = -3π/2

Среднее арифметическое корней:

\dfrac{\pi/2+\pi -\pi-3\pi/2}{4}=-\dfrac{\pi}{4} или это -45°

0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Алгебра
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота