В
Все
М
Математика
А
Английский язык
Х
Химия
Э
Экономика
П
Право
И
Информатика
У
Українська мова
Қ
Қазақ тiлi
О
ОБЖ
Н
Немецкий язык
Б
Беларуская мова
У
Українська література
М
Музыка
П
Психология
А
Алгебра
Л
Литература
Б
Биология
М
МХК
О
Окружающий мир
О
Обществознание
И
История
Г
Геометрия
Ф
Французский язык
Ф
Физика
Д
Другие предметы
Р
Русский язык
Г
География
Nikityha2012
Nikityha2012
07.10.2020 03:20 •  Алгебра

Найдите точку минимума функции y=(x+11)^2*e^3-x

Показать ответ
Ответ:
nastya2737
nastya2737
08.10.2020 09:13

x= - 11 точка локального минимума функции

Объяснение:

Дана функция

\tt \displaystyle y=(x+11)^2 \cdot e^{3-x}

1) Вычислим производную от функции:

\tt \displaystyle y'=((x+11)^2 \cdot e^{3-x})'=(x+11)^2 )'\cdot e^{3-x}+(x+11)^2 \cdot( e^{3-x})' =

\tt \displaystyle =2 \cdot (x+11) \cdot e^{3-x}+(x+11)^2 \cdot (-1) \cdot e^{3-x} =

\tt \displaystyle =e^{3-x} \cdot (2 \cdot (x+11)-(x+11)^2) =-e^{3-x} \cdot (x^2+20\cdot x+99).

2) Находим критические точки:

\tt \displaystyle y'=0 \Leftrightarrow -e^{3-x} \cdot (x^2+20\cdot x+99)=0 \Leftrightarrow x^2+20\cdot x+99=0:

\tt \displaystyle D=20^2-4 \cdot 1 \cdot 99= 400-396=4=2^2

\tt \displaystyle x_{1}=\frac{-20-2}{2}=-11\\\\ x_{2}=\frac{-20+2}{2}=-9.

3) Определим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого представим производную от функции в следующем виде и применим метод интервалов:

\tt \displaystyle y'=-e^{3-x} \cdot (x+11) \cdot (x+9).

Точки -11 и -9 делят ось Ох на 3 интервала: (-∞; -11), (-11; -9) и (-9; +∞).

а) Пусть x= -12∈(-∞; -11):

\tt \displaystyle y'(-12)=-e^{3-(-12)} \cdot (-12+11) \cdot (-12+9)=-e^{15} \cdot (-1) \cdot (-3)=-3\cdot e^{15}

Значит, на интервале (-∞; -11) функция убывает.

б) Пусть x= -10∈(-11; -9):

\tt \displaystyle y'(-10)=-e^{3-(-10)} \cdot (-10+11) \cdot (-10+9)=-e^{13} \cdot 1 \cdot (-1)=e^{13} 0

Значит, на интервале (-11; -9) функция возрастает.

в) Пусть x= 0∈(-9; +∞):

\tt \displaystyle y'(0)=-e^{3-0} \cdot (0+11) \cdot (0+9)=-e^{15} \cdot 11 \cdot 9=-99\cdot e^{3}

Значит, на интервале (-9; +∞) функция убывает.

4) Определим экстремумы функции:

Функция убывает на интервале (-∞; -11) и возрастает на интервале (-11; -9), то x= - 11 точка локального минимума функции.

Функция возрастает на интервале (-11; -9) и убывает  на интервале (-9; +∞), то x= - 9 точка локального максимума функции.

0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Алгебра
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота