Войти Регистрация Спроси ai-bota

Найдите значение выражения sin 54- sin 18

Показать ответ

Ответ:

ellapetrovna

12.06.2020 09:24

$sin54^o-sin18^o=2cos \frac{54^o+18^o}{2}*sin \frac{54^o-18^o}{2}=2cos36^osin18^o$

Отдельно вычислим sin18^o

sin18^o

:
Так как: sin36^o=sin(90^o-54^o)=cos54^o

sin36^o=sin(90^o-54^o)=cos54^o

$sin(2*18^o)=cos(3*18^o) \\ 2sin18^ocos18^o=4cos^318^o-3cos18^o \\ 2sin18^ocos18^o=4cos18^o(4cos^218^o-3)$
Разделим на cos18^o

cos18^o

2sin18^o=4-4sin^218^o-3

4sin^218^o+2sin18^o-1=0

, учтем $sin18^0\ \textgreater \ 0$
$D=4-4*4*(-1)=20 \\ sin18^o= \frac{-2+2 \sqrt{5} }{8} = \frac{ \sqrt{5}-1 }{4}$
$sin18^o= \frac{-2-2 \sqrt{5} }{8}$ - ∅

Отдельно вычислим cos36^o

cos36^o

:

cos36^o=2cos^218^o-1

$cos54^o=cos(90^o-36^o)=sin36^o=2sin18^ocos18^o= \\ =2cos18^o \sqrt{1-cos^218^o} \\ cos(3*18^o)=4cos^318^o-3cos18^o \\ 2cos18^o \sqrt{1-cos^218^o} =cos18^0(4cos^218^o-3) \\ 2\sqrt{1-cos^218^o} =4cos^218^o-3 \\ (2\sqrt{1-cos^218^o})^2 =(4cos^218^o-3 )^2 \\ 4(1-cos^218^o) =16cos^418^o-24cos^218^o +9 \\16cos^418^o-24cos^218^o +4cos^218^o +9-4=0 \\16cos^418^o-20cos^218^o +5=0 \\ cos^218^o=t \\ 16t^2-20t+5=0 \\ D=400-4*16*5=80 \\ t_1= \frac{20+4 \sqrt{5} }{32}= \frac{5+ \sqrt{5} }{8}$
$t_2= \frac{20-4 \sqrt{5} }{32}= \frac{5- \sqrt{5} }{8}$ ∅ т.к. $cos^218^o\ \textgreater \ \frac{5- \sqrt{5} }{8}$
$cos36^o=2cos^218^o-1=2*\frac{ \sqrt{5}+5 }{8}-1=\frac{\sqrt{5} +5}{4}-1=\frac{ \sqrt{5}+5 -4}{4}=\frac{ \sqrt{5}+1}{4} \\ 2cos36^osin18^o=2*\frac{ \sqrt{5}+1}{4}*\frac{ \sqrt{5}-1}{4}=2*\frac{ (\sqrt{5})^2-1}{16}=2* \frac{4}{16}=2* \frac{1}{4}= \frac{1}{2}$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

ОляМалинка

20.02.2021 07:23

Сумма двух чисел равна 35, а их наименьшее общее кратное равно 60. 25 и 10 3 и 32 30 и 5 15 и 20 27 и 8...

Mашka

19.09.2021 08:16

Постройте график функции,заданой формулой f(x)=10/x...

LOLgreen

20.10.2020 03:34

Самое уравнение : 5\4 x - 3\4 (x + 40 )= 6 2.уравнение : 3\4 ( x + 40) - 5\4 x = 6...

ведитеник

09.06.2022 17:45

Докажите тождества tg(n/4+a/2)-tg(n/4-a/2)=2tg a...

ziketeam123

02.10.2021 18:40

решите задание № 10 и 12...

irsenko55

29.05.2020 16:39

Сократите дробь 111 p( в степени 6) q( в степени 6) / 37 p( в степени 2) q( в степени 2)...

zhorik2006nice

27.03.2023 08:11

Напишите уравнения всех касательных к графику функции y=-x2-4+2 , проходящих через точку м(3; -2)....

Nanko11

27.03.2023 08:11

A)log7(8x-17)=1 b) log3(4x+3)=0 c)4log81(5x-12)=1 d)log8(3x-1)=1...

Nataliya49017

27.03.2023 08:11

Найдите значение выражения 3*2^log5 2...

Sanek27rus

17.10.2021 08:31

Нужно ! log(4)(3x^2 -3x-5,75)=log(0,5)2...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку