Имеем степенной ряд. Здесь и
Для ряда составим ряд из абсолютных величин:
Пусть ряд сходится при заданном значении . Тогда этот ряд является знакоположительным и по признаку Даламбера:
Тогда ряд сходится на интервале
Радиус сходимости:
Исследуем на сходимость ряд на концах интервала.
1) Если , то
Ряд сходится. Точка входит в область сходимости ряда.
2) Если , то
ответ:
Имеем степенной ряд. Здесь
и ![u_{n+1} = 2^{n+1+1}x^{2(n+1+1)} = 2^{n + 2}x^{2(n+2)}](/tpl/images/1356/4255/49f68.png)
Для ряда
составим ряд из абсолютных величин:
Пусть ряд
сходится при заданном значении
. Тогда этот ряд является знакоположительным и по признаку Даламбера:
Тогда ряд
сходится на интервале ![\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}; \ \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)](/tpl/images/1356/4255/8e698.png)
Радиус сходимости:![R = \dfrac{\sqrt{2}}{2}](/tpl/images/1356/4255/cbf36.png)
Исследуем на сходимость ряд на концах интервала.
1) Если
, то ![\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} 2^{n+1}\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2(n+1)} = \sum_{n = 1}^{\infty} 2^{n+1} \cdot 2^{-n - 1} =](/tpl/images/1356/4255/a5e07.png)
Ряд сходится. Точка
входит в область сходимости ряда.
2) Если
, то ![\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} 2^{n+1}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2(n+1)} = \sum_{n = 1}^{\infty} 2^{n+1} \cdot 2^{-n - 1} =](/tpl/images/1356/4255/9c5c1.png)
Ряд сходится. Точка
входит в область сходимости ряда.
ответ:![\left[-\dfrac{\sqrt{2}}{2} ; \ \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right]](/tpl/images/1356/4255/41e14.png)