Войти Регистрация Спроси ai-bota

Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости .

Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимос

Показать ответ

Ответ:

nikitabars7

24.11.2020 13:31

$\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{5^nx^n}{3^nn^4}=\sum\limits_{n=1}^\infty a_nx^n$

$\dfrac{1}{R}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{5^n}{3^nn^4}}=\dfrac{5}{3}\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{1}{n^4}}=\dfrac{5}{3}\\ \Rightarrow R=\dfrac{3}{5}$

А значит интервал сходимости $x\in(-\dfrac{3}{5};\dfrac{3}{5})$

Исследуем на концах:

$x=\dfrac{3}{5}\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^\infty a_n\left(\dfrac{3}{5}\right)^n=\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^4}$ - сходится как обобщенный гармонический ряд с k=41

$x=-\dfrac{3}{5}\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^\infty a_n\left(-\dfrac{3}{5}\right)^n=\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n\dfrac{1}{n^4}=\sum\limits_{n=1}^\infty b_n$

Заметим, что ряд из модулей $\sum\limits_{n=1}^\infty |b_n|=\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^4}$ сходится (по доказанному ранее). А значит и ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n\dfrac{1}{n^4}$ сходится

А тогда исходный ряд сходится на $\left[-\dfrac{3}{5};\dfrac{3}{5}\right]$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

456778757

27.02.2023 07:45

Нарисуйте набор точек, который является решением системы неравенств: ...

woonov1488

24.09.2021 02:35

100 . выполнить действия: 2х^2/х^2-4-2х/х+2...

пушокс

10.06.2020 09:46

Прямая у=rx+b проходит через точки с(-1; -8),d(4; 22) запишите уравнение этой прямой...

tainyanonimusp08coh

10.06.2020 09:46

Число 64 представить в виде произведения двух положительных множителей так, чтобы сумма их квадратов была наименшей...

Юролика

10.06.2020 09:46

Решите уравнение: log0,5(3х-1) = -3 нужна , буду рад подробному решению!...

Nnnnnn1111

26.08.2021 01:06

В первой коробке огурцов в 3 раза больше, чем в другой коробке. Если в первой взять 15 огурцов, а во второй добавить 25 огурцов, то в обоих будет равняться. Сколько огурцов...

аня2836

23.04.2021 11:48

ABCD - Прямоугольник а) AO=... BDб) угол A=углу C=... в) ACг) Saod=... AB*AD...

МарияПремудрая1

27.02.2021 15:05

5 м. 7. Точки A, B C арналежат одной рама. Н, me AB -Ас - 7 ем, ВС - 3 ен. Казан на точек A, B, Cen ey ay...

Единорожка024135

25.02.2023 01:54

довжина прямокутника на 2 см більша від ширини , периметр дорівнює 20см .Знайдіть сторони та площу прямокутника...

ressoli444

12.11.2022 13:12

Пусть a b c d - действительные числа. Расположить в порядке возрастания суммы ab + cd,ac + bd,ad + bc ....

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку