Имеем, ветвь параболы – это для первой функции. Для второй функции – – это область определения. В точке (-1) функция равна 1: , в точке 2 – функция равна 4: , проходит через 0: . Это часть параболы (рис. 1).
Одна точка с координатами , а вторая точка с координатами .
Итак, мы имеем две функции – график первой функции и график второй функции. Область определения задана.
Множество значений – это проекция графика функции на ось . На графике первой функции множество значений здесь – множество всех неотрицательных чисел; на втором – когда меняется в пределах от -1 до 2, функция меняется в пределах от 0 до 4. Первая функция меняется на луче, а вторая – на отрезке.
Еще раз напомним важные понятия – область определения и множество значений. Спроектировали график на ось – получили область определения функции. Спроектировали график на ось – получили множество значений функции.
Различают функции ограниченные и не ограниченные снизу или сверху. Дадим определение.
Ограниченность функции
Функция называется ограниченной снизу на множестве , если существует такое число , что при любом . Пояснить его легко. Вот данная функция (рис. 2, слева):
Графики функций
Рис. 2. Графики функций
Она меняется в этих пределах (рис. 3).
Область значений первой функции
Рис. 3. Область значений первой функции
Значит, если взять число, например (), то при любом значении функция больше, чем , значит, эта функция ограничена снизу. Например, числом .
Ограниченность функции
Рис. 4. Ограниченность функции
Но она не ограничена сверху () – рис. 4.
А вот вторая функция (рис. 5.). Она меняется в пределах от 0 до 4, значит, ограничена и снизу и сверху. Например, числами и 5 ().
Ограниченность второй функции
Рис. 5. Ограниченность второй функции
, если, конечно, меняется в разрешенных пределах (в пределах от до 2).
Итак, мы рассмотрели функции, ограниченные и не ограниченные сверху и снизу.
Первая функция имеет наименьшее значение. Что это означает? Ее наименьшее значение – значение 0 (). Это означает, что 0 достигается в какой-то точке. – первое условие, и второе условие – Значит, эта функция имеет наименьшее значение.
Вторая функция имеет и наименьшее, и наибольшее значения (). Почему? Во-первых, 0 достигается (), во-вторых, при всех допустимых значениях больше либо равен 0 (). А допустимый мы знаем, это по определению. У функции также есть наибольшее значение. . Что это означает? Это означает, что существует такая точка, что функция достигает значения 4 ( при всех .
Выпуклость функции (вверх, вниз)
Следующее важное свойство функции – это ее выпуклость вверх либо выпуклость вниз. Поясним его. Возьмем график некоторой функции. Пусть он ведет себя таким образом (рис. 6).
График выпуклой вниз функции
Рис. 6. График выпуклой вниз функции
И график второй функции. Пусть он ведет себя таким образом (рис. 7).
График выпуклой вверх функции
Рис. 7. График выпуклой вверх функции
Чем они отличаются? Возьмем две точки на графике – произвольные точки Есть дуга и хорда – отрезок АВ. Какие бы мы точки ни взяли – дуга лежит под хордой (под отрезком). На втором графике возьмем точки Дуга находится над хордой (отрезком) – рис. 8.
Иллюстрация выпуклости функции
Рис. 8. Иллюстрация выпуклости функции
Говорят, что эта функция выпукла вниз (дуга внизу), а вторая – выпукла вверх (дуга находится над отрезком). Теперь мы готовы к строгому определению.
Функция называется выпуклой вниз или выпуклой вверх на промежутке , если любая дуга графика функции на этом промежутке лежит ниже или выше отрезка, соединяющего концы дуги.
Приведем несколько конкретных примеров.
График этой функции – парабола. Возьмем любые две точки (А и В), соединим их. Дуга (кривая) лежит ниже (лежит под этим отрезком). Значит, эта функция выпукла вниз (рис. 9).
Иллюстрация выпуклости вниз
Рис. 9. Иллюстрация выпуклости вниз
Рассмотрим еще одну функцию.
На рисунке представлен график этой функции. Возьмем любые две точки (А и В), не важно, далеко ли они отстоят друг от друга или близко. Кривая находится сверху хорды – эта функция выпукла вверх (рис. 10).
Иллюстрация выпуклости вверх
Рис. 10. Иллюстрация выпуклости вверх
Итак, мы дали общее определение функции, выпуклой вверх (вниз), и привели конкретные примеры.
Предыдущие примеры обладают тем свойством, что функция на всей области определения была выпукла вверх или выпукла вниз. Но так бывает не всегда. Вот функция . Рассмотрим ее график – кубическая парабола. Значит, имеется одна выпуклость на множестве . На отрезке АВ функция выпукла вверх. А на другом множестве точка С и D, отрезок (хорда), дуга (часть кривой) лежит ниже
Если прямая проходит через точку, то её координаты удовлетворяют уравнению прямой.
Другими словами, если подставить координаты точки, через которую проходит прямая, в уравнение прямой, мы получим верное равенство.
2х-у=4
А (0; 4)
х=0, у=4
2*0-4 = -4
-4 ≠ 4
Равенство неверное.
Вывод: прямая 2х-у=4 не проходит через точку А (0; 4).
В (2; 0)
х=2, у=0
2*2-0 = 4
4=4 (равенство верно)
Вывод: прямая 2х-у=4 не проходит через точку В (2; 0).
С (-3; -10)
х= -3, у= -10
2*(-3)-(-10) = -6+10 = 4
4=4 (равенство верно)
Вывод: прямая 2х-у=4 не проходит через точку С (-3; -10).
ответ: прямая проходит через точки В и С.
Объяснение:
Имеем, ветвь параболы – это для первой функции. Для второй функции – – это область определения. В точке (-1) функция равна 1: , в точке 2 – функция равна 4: , проходит через 0: . Это часть параболы (рис. 1).
Одна точка с координатами , а вторая точка с координатами .
Итак, мы имеем две функции – график первой функции и график второй функции. Область определения задана.
Множество значений – это проекция графика функции на ось . На графике первой функции множество значений здесь – множество всех неотрицательных чисел; на втором – когда меняется в пределах от -1 до 2, функция меняется в пределах от 0 до 4. Первая функция меняется на луче, а вторая – на отрезке.
Еще раз напомним важные понятия – область определения и множество значений. Спроектировали график на ось – получили область определения функции. Спроектировали график на ось – получили множество значений функции.
Различают функции ограниченные и не ограниченные снизу или сверху. Дадим определение.
Ограниченность функции
Функция называется ограниченной снизу на множестве , если существует такое число , что при любом . Пояснить его легко. Вот данная функция (рис. 2, слева):
Графики функций
Рис. 2. Графики функций
Она меняется в этих пределах (рис. 3).
Область значений первой функции
Рис. 3. Область значений первой функции
Значит, если взять число, например (), то при любом значении функция больше, чем , значит, эта функция ограничена снизу. Например, числом .
Ограниченность функции
Рис. 4. Ограниченность функции
Но она не ограничена сверху () – рис. 4.
А вот вторая функция (рис. 5.). Она меняется в пределах от 0 до 4, значит, ограничена и снизу и сверху. Например, числами и 5 ().
Ограниченность второй функции
Рис. 5. Ограниченность второй функции
, если, конечно, меняется в разрешенных пределах (в пределах от до 2).
Итак, мы рассмотрели функции, ограниченные и не ограниченные сверху и снизу.
Первая функция имеет наименьшее значение. Что это означает? Ее наименьшее значение – значение 0 (). Это означает, что 0 достигается в какой-то точке. – первое условие, и второе условие – Значит, эта функция имеет наименьшее значение.
Вторая функция имеет и наименьшее, и наибольшее значения (). Почему? Во-первых, 0 достигается (), во-вторых, при всех допустимых значениях больше либо равен 0 (). А допустимый мы знаем, это по определению. У функции также есть наибольшее значение. . Что это означает? Это означает, что существует такая точка, что функция достигает значения 4 ( при всех .
Выпуклость функции (вверх, вниз)
Следующее важное свойство функции – это ее выпуклость вверх либо выпуклость вниз. Поясним его. Возьмем график некоторой функции. Пусть он ведет себя таким образом (рис. 6).
График выпуклой вниз функции
Рис. 6. График выпуклой вниз функции
И график второй функции. Пусть он ведет себя таким образом (рис. 7).
График выпуклой вверх функции
Рис. 7. График выпуклой вверх функции
Чем они отличаются? Возьмем две точки на графике – произвольные точки Есть дуга и хорда – отрезок АВ. Какие бы мы точки ни взяли – дуга лежит под хордой (под отрезком). На втором графике возьмем точки Дуга находится над хордой (отрезком) – рис. 8.
Иллюстрация выпуклости функции
Рис. 8. Иллюстрация выпуклости функции
Говорят, что эта функция выпукла вниз (дуга внизу), а вторая – выпукла вверх (дуга находится над отрезком). Теперь мы готовы к строгому определению.
Функция называется выпуклой вниз или выпуклой вверх на промежутке , если любая дуга графика функции на этом промежутке лежит ниже или выше отрезка, соединяющего концы дуги.
Приведем несколько конкретных примеров.
График этой функции – парабола. Возьмем любые две точки (А и В), соединим их. Дуга (кривая) лежит ниже (лежит под этим отрезком). Значит, эта функция выпукла вниз (рис. 9).
Иллюстрация выпуклости вниз
Рис. 9. Иллюстрация выпуклости вниз
Рассмотрим еще одну функцию.
На рисунке представлен график этой функции. Возьмем любые две точки (А и В), не важно, далеко ли они отстоят друг от друга или близко. Кривая находится сверху хорды – эта функция выпукла вверх (рис. 10).
Иллюстрация выпуклости вверх
Рис. 10. Иллюстрация выпуклости вверх
Итак, мы дали общее определение функции, выпуклой вверх (вниз), и привели конкретные примеры.
Предыдущие примеры обладают тем свойством, что функция на всей области определения была выпукла вверх или выпукла вниз. Но так бывает не всегда. Вот функция . Рассмотрим ее график – кубическая парабола. Значит, имеется одна выпуклость на множестве . На отрезке АВ функция выпукла вверх. А на другом множестве точка С и D, отрезок (хорда), дуга (часть кривой) лежит ниже