ответ: 128 , при x=y=z=2
Объяснение:
u=z*x^2*y^3*(14-2x-3y-z) , где x,y,z>0
Очевидно, раз нам нужно наибольшее значение, то нам есть смысл рассматривать только те значения, при которых 14-2x-3y-z>=0
0<2x+3y+z<=14
В рассматриваемой области из неравенства Коши-Буняковского имеем :
z*x^2*y^3 = z*x*x*y*y*y<= ( (2x+3y+z)/6)^6
Откуда:
u<=6^(-6) * ( (2x+3y+z))^6 *(14-(2x+3y+z) )
Пусть : 2x+3y+z=t
0<t<=14
Найдем максимум функции:
f(t) = t^6 *(14-t) =14t^6 -t^7
Найдем нули производной:
f'(t) = 84t^5-7*t^6 = 0
t1=0
84-7t=0
t2=84/7 = 12 - точка максимума.
f(14)=f(0)=0
f(12) = 2*12^6 - максимальное значение на 0<t<=14
Таким образом:
u<=6^(-6) * ( (2x+3y+z))^6 *(14-(2x+3y+z) ) <= 6^(-6) *2*12^6 = 2^7 = 128. Иначе говоря, umax = 128
Данное значение будет получено, когда:
x=y=z ( требование выполнения равенства в неравенстве Коши-Буняковского), и когда 2x+3y+z = 12 или 6x=12 → x=y=z=2
z(14-2x-3y-z) В области x,y,z >0
ответ: 128 , при x=y=z=2
Объяснение:
u=z*x^2*y^3*(14-2x-3y-z) , где x,y,z>0
Очевидно, раз нам нужно наибольшее значение, то нам есть смысл рассматривать только те значения, при которых 14-2x-3y-z>=0
0<2x+3y+z<=14
В рассматриваемой области из неравенства Коши-Буняковского имеем :
z*x^2*y^3 = z*x*x*y*y*y<= ( (2x+3y+z)/6)^6
Откуда:
u<=6^(-6) * ( (2x+3y+z))^6 *(14-(2x+3y+z) )
Пусть : 2x+3y+z=t
0<t<=14
Найдем максимум функции:
f(t) = t^6 *(14-t) =14t^6 -t^7
Найдем нули производной:
f'(t) = 84t^5-7*t^6 = 0
t1=0
84-7t=0
t2=84/7 = 12 - точка максимума.
f(14)=f(0)=0
f(12) = 2*12^6 - максимальное значение на 0<t<=14
Таким образом:
u<=6^(-6) * ( (2x+3y+z))^6 *(14-(2x+3y+z) ) <= 6^(-6) *2*12^6 = 2^7 = 128. Иначе говоря, umax = 128
Данное значение будет получено, когда:
x=y=z ( требование выполнения равенства в неравенстве Коши-Буняковского), и когда 2x+3y+z = 12 или 6x=12 → x=y=z=2