Войти Регистрация Спроси ai-bota

Найти объём тела, поверхность которого образуется вращением дуги окружности x^2+y^2=25 и прямых 3x-4y=0, x=0, вокруг оси oy.

Показать ответ

Ответ:

wolf13131

24.05.2020 04:50

Найдем точки пересечения прямой и окружности:

$\left \{ {{x^2+y^2=25} \atop {3x-4y=0}} \right.$

$\left \{ {{y=\frac{3}{4}x} \atop {x^2+\frac{9}{16}x^2=25}} \right.$

x = +/-4

Найдем точки пересечения дуги окружности и оси ОХ:

$\left \{ {{y=0} \atop {x^2+y^2=25}} \right.$

x = +/-5

Объем тела вращения будет вычисляться как интеграл в пределах [-5;4] (исходя из рисунка)

$V_y = 2\pi\int\limits^a_b {x*(y_1-y_2)} \, dx$

$V_y = 2\pi\int\limits^{4}_{-5} {x(\frac{3}{4}x-\sqrt{25-x^2})} \, dx = 2\pi(\frac{3}{4}\int\limits^{4}_{-5} {x^2} \, dx-\int\limits^{4}_{-5} {x\sqrt{25-x^2}} \, dx)$

$\int\limits^{4}_{-5} {x^2} \, dx = \frac{x^3}{3}|_{-5}^4 = \frac{4^3}{3} + \frac{5^3}{3}=\frac{189}{3}$

$\int\limits^4_{-5} {x\sqrt{25-x^2}} \, dx$

Замена:

u = 25-x^2

du = -2xdx

xdx = -0.5du

u1 = 25-x1^2 = 25-25 = 0

u2 = 25-x2^2 = 25-16 = 9

$\int\limits^4_{-5} {x\sqrt{25-x^2}} \, dx = -\frac{1}{2}\int\limits^9_0 {\sqrt{u}} \, du = -\frac{1}{2}\frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}|_0^9 = -\frac{1}{3}\sqrt{u^3}|_0^9 = -\frac{1}{3}3^3 = -9$

$V_y = 2\pi(\frac{3}{4}*\frac{189}{3}-(-9)) = 2\pi*56.25=112.5\pi$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

yurka1973

21.07.2022 03:15

Разложите квадратный трёхчлен на множители 1)х^2-2х-48,2) 2х^2-5х+3, 3)3х^2-10х+3,4) 5х^2-х-42,5)3х^2-8х+5,6) 36х^2-12х+1, 7)2х^2-7х+6,8) х^2+9х-22,9)х^2-8х-84, 10)4х^2-11х+7,...

Алина1116577

21.07.2022 03:15

Виталию надо сделать 95 . мише 60 . виталий каждый день решает 7 миша 4 . через сколько дней у виталия остаётся в 3 раза больше нерешенных чем у миши?...

eparhomenko

21.07.2022 03:15

Для функции у =– 4х – 5 найдите те значения х, при которых у 0....

Неизвестная66

21.07.2022 03:15

Постройте график функции y=-x+4, принадлежит ли этому графику точка а(400; 200)?...

zelenukanna2002

21.07.2022 03:15

Разложите на множители квадратный трёхчлен: а)3х в квадрате - 25х -28 б)2х в квадрате +13х - 7...

петро27

21.07.2022 03:15

Две ремонтные бригады работая одновременно, могут отремонтировать мост за 10 дней. сколько времени потребуется для ремонта моста каждой бригаде в отдельности, если одна из них...

dimidom56

12.03.2022 07:52

Не выполняя построения найдите координаты точек пересечения с осями координат графика функции y=-2,4x+9,6...

tesaf

05.11.2022 23:44

Вромби висота и менша диагональ що проведена з однои вершини утворюють кут 15°. знайти висоту ромба,якщо периметр - 1м...

алма15

18.01.2021 15:47

Найдите область определения функции y=корень из 3x-x^2+18 / корень x+1...

Clever23465

16.08.2021 22:33

Дабыл әнгымесының қыскаша мазмуны керек...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку