Найти общее решение дифференциального уравнения
(xcos2y+1)dx-2x^(2)*(sin2y)dy=0

Показать ответ

Ответ:

sweet690

22.11.2020 23:59

$4)\ \ \sum \limits _{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n(n+1)}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^2+n}\\\\\\Neobxodimuj\ priznak:\ \lim\limits _{n \to \infty} a_n=\lim\limits _{n \to \infty}\dfrac{1}{n^2+n}=0\ \ \Rightarrow \ \ ???$

Если предел общего члена ряда равен 0, то ответ о сходимости ряда дать невозможно. Поэтому ряд надо исследовать с других признаков. (Вот если бы предел общего члена ряда не был = 0, то вывод можно было бы сделать однозначно, ряд бы расходился.)

Применим признак сравнения:

$a_{n}=\dfrac{1}{n^2+n}$

По признаку сравнения: мажорантный ряд сходится, значит сходится и минорантный ряд ⇒ исходный ряд сходится .

$6)\ \ \sum \limits _{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n}\cdot tg\dfrac{\pi}{3n}\\\\Neobx.\; priznak:\ \lim\limits _{n \to \infty} a_n= \lim\limits _{n \to \infty}\frac{1}{n}\cdot tg\frac{\pi}{3n}=\Big[0\cdot 0\; \Big]=0\ \ \Rightarrow \ \ \ ???\\\\sinx$

$tg\dfrac{\pi}{3n}\dfrac{\pi}{3n}\ \ (n\to +\infty )\ \ \Rightarrow \ \ \ a_{n}=\dfrac{1}{n}\cdot tg\dfrac{\pi}{3n}\dfrac{1}{n}\cdot \dfrac{\pi}{3n}=\dfrac{\pi}{3n^2}=b_{n}\ -\ sxoditsya\; ,\\\\tak\ kak\ \ \sum \limits _{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^2}\ -\ sxoditsya$

Получили, что сходится минорантный ряд, а из этого факта не следует сходимость мажорантного ряда. Поэтому применим признак сравнения в предельной форме.

$\lim\limits _{n \to \infty}\dfrac{a_{n}}{b_n}=\lim\limits _{n\to \infty }\dfrac{\frac{1}{n}\cdot tg\frac{\pi}{3n}}{\frac{1}{n^2}}=\lim\limits _{n\to \infty }\dfrac{\frac{1}{n}\cdot \frac{\pi}{3n}}{\frac{1}{n^2}}=\dfrac{\pi }{3}\ne 0\ \ \Rightarrow$

Оба ряда ведут себя одинаково, то есть сходятся .

$8)\ \ \sum \limits _{n=1}^{\infty }3^{n}\cdot sin\dfrac{\pi}{4^{n}}\\\\sin\dfrac{\pi}{4^{n}}$

$\lim\limits _{n \to \infty}\dfrac{a_n}{b_{n}}= \lim\limits _{n \to \infty}\dfrac{3^{n}\cdot sin\frac{\pi}{4^{n}}}{(3/4)^{n}}= \lim\limits _{n \to \infty}\frac{3^{n}\cdot (\pi/4^{n})}{(3/4)^{n}}=\pi \ne 0\ \ \Rightarrow$

Оба ряда ведут себя одинаково, то есть сходятся .

$7)\ \ \sum\limits _{n=1}^{\infty }\, ln\dfrac{n+3}{n+2}\\\\ln\dfrac{n+3}{n+2}=ln\Big(1+\dfrac{1}{n+2}\Big)\sim \dfrac{1}{n+2}\ \ \ (n\to \infty )\ \Rightarrow \\\\\sum\limits _{n=1}^{\infty }\, b_{n}=\sum\limits _{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n+2}\ -\ rasxoditsya\\\\\\\lim\limits _{n \to \infty}\dfrac{a_n}{b_{n}}=\lim\limits _{n \to \infty}\dfrac{ln(1+\frac{1}{n+2})}{\frac{1}{n+2}}= \lim\limits _{n \to \infty}\dfrac{\frac{1}{n+2}}{\frac{1}{n+2}}=1\ne 0\ \ \Rightarrow$

Оба ряда расходятся .

$11)\ \ \sum\limits _{n=1}^{\infty }\, \dfrac{2^{n}}{4^{n}+7}\\\\a_{n}=\dfrac{2^{n}}{2^{2n}+7}$

Оба ряда сходятся .

0,0(0 оценок)

Ответ:

RonnieHolmes

14.07.2022 04:42

В решении.

Объяснение:

1)Выразить х через у:

8у+2х=12

2х=12-8у

х=(12-8у)/2

х=6-4у.

2)Сколько решений имеет система?

х+у=2

2х+2у=3

Разделить второе уравнение на 2 для упрощения:

х+у=2

х+у=1,5

При равенстве к и разных b графики уравнений будут параллельны, а система не имеет решений.

3)Решить систему уравнений:

у-х=2

х+у=4

Выразим у через х в первом уравнении, подставим выражение во второе уравнение и вычислим х:

у=2+х

х+2+х=4

2х=4-2

2х=2

х=1

у=2+х

у=2+1

у=3

Решение системы уравнений (1; 3).

4)Решить систему уравнений сложения:

2х+3у=7

2х-3у=1

Смысл метода алгебраического сложения в том, чтобы при сложении уравнений одно неизвестное взаимно уничтожилось. То есть, чтобы коэффициенты при неизвестном каком-то были одинаковыми, но с противоположными знаками. Для того, чтобы этого добиться, преобразовывают уравнения, можно умножать обе части уравнения на одно и то же число, делить.

В данной системе ничего преобразовывать не нужно, коэффициенты при у одного значения и с противоположными знаками:

Складываем уравнения:

2х+2х+3у-3у=7+1

4х=8

х=2

Теперь подставляем значение х в любое из двух уравнений системы и вычисляем у:

2х+3у=7

3у=7-2х

3у=7-2*2

3у=3

у=1

Решение системы уравнений (2; 1).