Войти Регистрация Спроси ai-bota

Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянным коэффициентами y''-3y'=3e^3x

Показать ответ

Ответ:

Meowmeowmi

03.10.2020 22:18

Решение уравнения будем искать в виде $y=e^{\beta\cdot x}$ .

Составим характеристическое уравнение.
$\beta^2-3\beta=0\\ \beta_1=0;\\ \beta_2=3;$

Фундаментальную систему решений функций:
$y_1=1\\ y_2=e^{3x}$

Общее решение однородного уравнения:
$y_{*}=y_1+y_2=C_1\cdot e^{3x}+C_2$

Теперь рассмотрим прафую часть диф. уравнения:
$f(x)=3e^{3x}$

найдем частные решения.
Правая часть имеет вид уравнения
$P(x)=e^{\alpha x}(R(x)\cos(\gamma x)+L(x)\sin(\gamma x))$ , где R(x) и S(x) - полиномы, которое имеет частное решение.

$y=x^ze^{\alpha x}(P(x)\cos(\gamma x)+S(x)\sin (\gamma x))$ , где z -

z -

кратность корня $\alpha+\gamma i$

У нас R(x) = 3; L(x) = 0; $\alpha=3;\,\, \gamma =0$

Число $\alpha + \gamma i=3$ является корнем характеристического уравнения кратности z=1

Тогда уравнение имеет частное решение вида:
$y=x(Ae^{3x})$
Находим 2 производные, получим
$y'=3Ax3e^{3x}+Ae^{3x}\\ y''=3Ae^{3x}(3x+2)$

И подставим эти производные в исходное диф. уравнения
$y''-3y'=3e^{3x}\\ 3Ae^{3x}=3e^{3x}\\ A=1$

Частное решение имеет вид: $y_*=xe^{3x}$

Общее решение диф. уравнения:
$y=C_1e^{3x}+C_2+xe^{3x}$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

Рюка

12.04.2023 11:45

Сделайте : в библиотеке книги на французском языке составляют 48% от числа книг на языке, а вместе они составляют 5% числа всех книг в библиотеке. сколько всего книг в библиотеке,...

berezniki14

28.12.2022 00:05

Впрямоугольном треугольнике авс один из катетов равен 4 см а гипотенуза 8 см найдите второй катет и острые углы треугольника...

Miheevf

28.12.2022 00:05

Представьте в виде многочелена выражения (2x+9)(4x-5)-3(x-1)во второй степени,решите...

dymomc

28.12.2022 00:05

Как найти двенадцатый член арифметической прогрессии если одиннадцатый член равен 15 а десятый 34? ромогите буду !...

yulyakarpenko3

04.04.2022 14:30

Решите, , все . решение нужно записать не в фото, а текстом. контрольная работа по №1-№8 предполагают выполнить решение в черновике и записать ответ. №9–№10 предполагает полную...

17Yana20031

04.04.2022 14:30

вынести множитель из-под знака корня (х 0, у 0) √243х^7у^12 (все выражение под корнем)...

Syrkova1

30.12.2022 23:52

Можно ли разделить одночлен 10x^8 на одночлен 2x^12 так, чтобы в частном снова получился одночлен?...

orenet

30.12.2022 23:52

A²+ab a+b разложить на ммножители...

igulsinya

30.12.2022 23:52

Внесите множитель под знак корня: -3х^3 × ^4√х^5 (^4 стоит перед корнем, в левом верхнем углу)...

Aza3lo

30.12.2022 23:52

Стороны треугольника относятся как 3 : 5 : 7, периметр его равен 60 см. найдите стороны и периметр треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника....

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку