Войти Регистрация Спроси ai-bota

найти площадь фигуры,ограниченной осями координат и параболой $y = - {x}^{2} + 4x - 4$

найти площадь фигуры,ограниченной осями координат и параболой

Показать ответ

Ответ:

Yasmin11111

02.10.2021 20:10

$\boxed{\dfrac{8}{3}}$ квадратных единиц

Объяснение:

Построим график $y = -x^{2} + 4x - 4$

Пусть S площадь ограниченная графиком функции $y = -x^{2} + 4x - 4$ осями координат. Пусть точка B - пересечение графика y и оси абсцисс, точка A - пересечение графика y и оси ординат.

$y(0) = -0^{2} + 4 * 0 - 4 = -4$

y = 0

$-x^{2} + 4x - 4 = 0|*(-1)$

$x^{2} - 4x + 4 =0$

$(x - 2)^{2} = 0 \Longleftrightarrow x - 2 =0$

x = 2

Координаты точек A и B:

A(0;-4)

B(2;0)

Пусть точка начало системы координат, тогда точка O имеет координаты O(0;0).

Узнаем уравнение прямой проходящей через точки A и B. Уравнение прямой с угловым коэффициентом в общем виде: y = kx + b .

$\displaystyle \left \{ {{A: -4=k * 0 + b} \atop {B:0=2*k + b}} \right.$ $\displaystyle \left \{ {{ b=-4} \atop {0=2k - 4}} \right.$ $\displaystyle \left \{ {{ b=-4} \atop {4=2k |:2}} \right.$ $\displaystyle \left \{ {{ b=-4} \atop {k = 2}} \right.$

y = 2x - 4

Пусть $S_{1}$ - площадь между прямой y = 2x - 4 и функцией $y = -x^{2} + 4x - 4$

Пусть f(x) = y = 2x - 4 и $g(x) = y = -x^{2} + 4x - 4$ .

$S = S_{\bigtriangleup AOB} - S_{1}$

$OA = \sqrt{(x_{A} - x_{O})^{2} + (y_{A} - y_{O})^{2}} = \sqrt{(0 - 0)^{2} + (-4 - 0)^{2}} =\sqrt{16} = 4$

$OB = \sqrt{(x_{B} - x_{O})^{2} + (y_{B} - y_{O})^{2}} = \sqrt{(2 - 0)^{2} + (0 - 0)^{2}} =\sqrt{4} = 2$

По формуле площади прямоугольного треугольника:

$S_{\bigtriangleup AOB} = \dfrac{AO * OB}{2} = \dfrac{4 * 2}{2} = 4$ .

Промежуток интегрирования: [0;2]

Докажем, что $f(x) \geq g(x)$ при $x \in [0;2]$

$2x- 4 \geq -x^{2} + 4x - 4$

$x^{2} - 2x \geq 0$

$x(x - 2) \geq 0$

$x \in (-\infty;0] \cup [2;+\infty)$ тогда можно сделать вывод, что

$g(x) \geq f(x)$ при $x \in [0;2]$ .

По теореме:

$S_{1} = \displaystyle \int\limits^2_0 {(g(x) - f(x))} \, dx = \int\limits^2_0 {-x^{2} +4x - 4 - 2x + 4} \, dx = \int\limits^2_0 {2x-x^{2}} \, dx =$

$= x^{2} - \dfrac{x^{3} }{3} \bigg|_0^2 = (2^{2} - \dfrac{2^{3} }{3}) - 0 = 4 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{12 - 8}{3} = \dfrac{4}{3}$ .

$S = S_{\bigtriangleup AOB} - S_{1} = 4 - \dfrac{4}{3} = \dfrac{12 -4}{3} = \dfrac{8}{3}$ квадратных единиц.

найти площадь фигуры,ограниченной осями координат и параболой

найти площадь фигуры,ограниченной осями координат и параболой

найти площадь фигуры,ограниченной осями координат и параболой

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

дстмсдрлпоа

06.03.2021 12:48

Розв’яжіть систему рівнянь КАК МОЖНО БЫСТРЕЕ,...

olinka6

07.11.2021 12:43

У выражение: a) (a - 1)(a + 3) - (a + 1)2; б) (x - y)(x+ y)(x2 + y?)....

linakkj

11.12.2022 12:52

Однородные уравнения решить,...

VladSolo

25.02.2023 03:03

Ирина решила поучаствовать в беспроигрышной лотерее из призов остались 7 блокнотов, 8 рамок для фото, 2 брелка и 3 календаря. какова вероятность того что ирине достанется брелок?...

dancevera2017

14.03.2023 04:59

График линейной функции проходит а(3; 1) и в(2; -2). задайте функцию формулой и постройте её график....

7077788

14.03.2023 04:59

Какой координатной четверти принадлежит точка (cos8; sin8) числовой окружности?...

BWorld

20.09.2020 07:37

Докажите, что функция f(x)=3x+sinx-e^2x является первообразной функции f(x)=3+cosx-2e^2x...

котак5

08.10.2022 01:01

Найдите отношение а\3км к 750м б\300м к 2.1 км в\700г к 1 кг г\29ц к 160кг д\10мин к 10 ч е\4ч к 40мин...

Tolya567

08.10.2022 01:01

Решите неполные квадратные уравнения 1) (51+х)^2=0 2) 7x^2=21x^2+2x 3) 2x^2+5x=5x+6 4) (x+5)^2=0 5) (x+10)(x^2+4x)=0 6) (x^2-25)(x+15)=0...

Adil0071

17.11.2022 08:39

Оцінити значення виразів х+у ; х-у ;х*у , якщо: 2 х 5 і 4 у 7...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку