3) уравнение и длину высоты, опущенной из вершины С;
4) точку пересечения высот;
5) уравнение медианы, проведенной через вершину С;
6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.
А ( 1; -5 )
В ( 4; -4 )
С ( -2; -1 )
Сделаем чертёж:
1)длина стороны АВ: - длина стороны АВ.
2) внутренний угол А с точностью градуса:
Для поиска угла воспользуемся формулой . В данном случае k1=kАB, а k2=kАC - угловые коэффициенты прямых АВ и АС.
Найдем угловые коэффициенты по формуле: .
; ?
? А=arctg(-3)=180°-72°»108° - внутренний угол А.
3) уравнение и длину высоты, опущенной из вершины С:
Составим уравнение высоты CD.
Высота CD перпендикулярна стороне AB. По условию перпендикулярности двух прямых
Составим уравнение высоты CD по известной точке и угловому коэффициенту:
y-yс=k(x-xс)
y+1=-3.(x+2)
y+1=-3x-6
3x+y+7=0 - уравнение высоты (CD)
Найдем длину высоты CD по формуле для расстояния от точки до прямой:
Составим уравнение прямой AB по угловому коэффициенту и точке A, принадлежащей прямой:
y-yА=kАВ(x-xА)
y+5=(x-1) - Домножим на 3 обе части уравнения:
3y+15=x-1
x-3y-16=0 - уравнение (AB)
Тогда (ед. дл.) – длина высоты (СD).
4) точку пересечения высот:
Точку пересечения двух прямых можно найти, решив систему уравнений, задающих эти прямые, поэтому нужно найти уравнение еще одной высоты, например, BK.
Составим уравнение высоты (BK) по известной точке и угловому коэффициенту:
y-yВ=k(x-xВ)
y-4=3/4.(x-4) - Домножим на 4 обе части уравнения:
4y-16=3x-12
3x-4y+28=0 - уравнение (BK), тогда
(.) О:
Таким образом, высоты пересекаются в точке О: (-56/15;63/15)
5) уравнение медианы, проведенной через вершину С:
Найдем координаты точки E как координаты середины отрезка АВ:
(.)Е: (5/2; -9/2)
Запишем уравнение медианы (CE) по 2 точкам:
-7(x+2)=9(y+1)
-7x-14-9y-9=0
-7x-9y-23=0
7x+9y+23=0 уравнение медианы (CE).
6. Систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС:
Составим уравнение всех сторон треугольника:
Уравнение стороны АВ уже было составлено: x-3y-16=0
Составим уравнение прямой AС по угловому коэффициенту и точке A, принадлежащей прямой:
y-yА=kАC(x-xА)
y+5=(x-1) - Домножим на 3 обе части уравнения:
3y+15=-4x+4
4x+3y+11=0 - уравнение (АС)
Найдем уравнение стороны (ВС) по 2 точкам:
3.(х-4)=-6.(y+4)
x+2y-4+8=0
x+2y+4=0 - уравнение (BС)
Для определения знаков неравенств в левую часть каждого уравнения подставим координаты противоположной вершины, которая гарантированно принадлежит соответствующей полуплоскости:
Подставим (.)С (-2;-1) в уравнение (АВ) x-3y-16=-2-3.(-1)-16 =-15<0
Подставим (.)В (4;-4) в уравнение (АС) 4x+3y+11=4.4+3.(-4)+11=15>0
Подставим (.)А (1;-5) в уравнение (ВС) x+2y+4=1+2. (-5)+4=-5<0
Теперь можно записать систему неравенств:
1) длина стороны АВ: =
2) внутренний угол А с точностью градуса: А »108°;
3) уравнение и длина высоты, опущенной из вершины С: 3x+y+7=0 - (CD) иед.дл.
4) точка пересечения высот О: (-56/15;63/15);
5) уравнение медианы, проведенной через вершину С: 7x+9y+23=0 - (CE);
6) система линейных неравенств, определяющих треугольник АВС:
Cos^2(x)+cos^2(2x)=cos^2(3x)+cos^2(4x) cos^2(x) - cos^2(3x) = cos^2(4x) - cos^2(2x) далее разность квадратов с обоих сторон (cos(x) - cos(3x))*(cos(x) + cos(3x)) = (cos(4x) - cos(2x))*(cos(4x) + cos(2x)) далее применяем формулы cosa-cosb=-2sin( (a+b)/2 )*sin( (a-b)/2 ) cosa+cosb=2cos( (a+b)/2 )*cos( (a-b)/2 ) получаем, -2sin( (x+3x)/2 )*sin( (x-3x)/2 ) * 2cos( (x+3x)/2 )*cos( (x-3x)/2 ) = = -2sin( (4x+2x)/2 )*sin( (4x-2x)/2 ) * 2cos( (4x+2x)/2 )*cos( (4x-2x)/2 ) слегка, 2-йки сокращаем, имеяя ввиду, что sin(-x)=-sin(x), а cos(-x)=cos(x) sin(2x)*sin(x)*cos(2x)*cos(x)=-sin(3x)*sin(x)*cos(3x)*cos(x) сокращая на sin(x) и cos(x) имеем ввиду, что это также является решением уравнения, т. е. уравнение распадается на три уравнения 1) sin(x)=0, тут x=пk, где k-целое число 2) cos(x)=0, тут x=п/2*k, где k-целое число 3) после сокращения на sinx и cosx sin(2x)cos(2x)=-sin(3x)cos(3x) здесь применяем формулу sin(2x)=2*sin(x)*cos(x), получаем 1/2*sin(4x)=-1/2*sin(6x) sin(4x)+sin(6x)=0 далее применяем формулу sina+sinb=2sin( (a+b)/2 )*cos( (a-b)/2 ), получаем 2sin( (4x+6x)/2 )*cos( (4x-6x)/2 ) = 0 на 2 сокращаем, получаем sin(5x)*cos(x) = 0 cos(x)=0 у нас уже имелось в пункте 2) остается sin(5x)=0 => 5x=пk => x=п/5*k, k - целое объединяем решения: 1)x=пk, где k-целое число 2)x=п/2*k, где k-целое число 3)x=п/5*k, k - целое третье включает в себя первое, можно на тригонометрическом круге посмотреть, если так не понятно, поэтому остается 2)x=п/2*k, где k-целое число 3)x=п/5*k, k - целое число дальше мудохаться не стоит, ответ: x=п/2*k, где k-целое число и x=п/5*k,где k - целое число p.s. п-это пи=3.1415 если что (число эйлера вроде как)
Даны вершины А(х1; у1), В(х2; у2), С(х3, у3) треугольника.
Сделать чертеж и найти:
1) длину стороны АВ;
2) внутренний угол А с точностью градуса;
3) уравнение и длину высоты, опущенной из вершины С;
4) точку пересечения высот;
5) уравнение медианы, проведенной через вершину С;
6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.
А ( 1; -5 )
В ( 4; -4 )
С ( -2; -1 )
Сделаем чертёж:
1)длина стороны АВ: - длина стороны АВ.
2) внутренний угол А с точностью градуса:
Для поиска угла воспользуемся формулой . В данном случае k1=kАB, а k2=kАC - угловые коэффициенты прямых АВ и АС.
Найдем угловые коэффициенты по формуле: .
; ?
? А=arctg(-3)=180°-72°»108° - внутренний угол А.
3) уравнение и длину высоты, опущенной из вершины С:
Составим уравнение высоты CD.
Высота CD перпендикулярна стороне AB. По условию перпендикулярности двух прямых
Составим уравнение высоты CD по известной точке и угловому коэффициенту:
y-yс=k(x-xс)
y+1=-3.(x+2)
y+1=-3x-6
3x+y+7=0 - уравнение высоты (CD)
Найдем длину высоты CD по формуле для расстояния от точки до прямой:
Составим уравнение прямой AB по угловому коэффициенту и точке A, принадлежащей прямой:
y-yА=kАВ(x-xА)
y+5=(x-1) - Домножим на 3 обе части уравнения:
3y+15=x-1
x-3y-16=0 - уравнение (AB)
Тогда (ед. дл.) – длина высоты (СD).
4) точку пересечения высот:
Точку пересечения двух прямых можно найти, решив систему уравнений, задающих эти прямые, поэтому нужно найти уравнение еще одной высоты, например, BK.
Составим уравнение высоты (BK) по известной точке и угловому коэффициенту:
y-yВ=k(x-xВ)
y-4=3/4.(x-4) - Домножим на 4 обе части уравнения:
4y-16=3x-12
3x-4y+28=0 - уравнение (BK), тогда
(.) О:
Таким образом, высоты пересекаются в точке О: (-56/15;63/15)
5) уравнение медианы, проведенной через вершину С:
Найдем координаты точки E как координаты середины отрезка АВ:
(.)Е: (5/2; -9/2)
Запишем уравнение медианы (CE) по 2 точкам:
-7(x+2)=9(y+1)
-7x-14-9y-9=0
-7x-9y-23=0
7x+9y+23=0 уравнение медианы (CE).
6. Систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС:
Составим уравнение всех сторон треугольника:
Уравнение стороны АВ уже было составлено: x-3y-16=0
Составим уравнение прямой AС по угловому коэффициенту и точке A, принадлежащей прямой:
y-yА=kАC(x-xА)
y+5=(x-1) - Домножим на 3 обе части уравнения:
3y+15=-4x+4
4x+3y+11=0 - уравнение (АС)
Найдем уравнение стороны (ВС) по 2 точкам:
3.(х-4)=-6.(y+4)
x+2y-4+8=0
x+2y+4=0 - уравнение (BС)
Для определения знаков неравенств в левую часть каждого уравнения подставим координаты противоположной вершины, которая гарантированно принадлежит соответствующей полуплоскости:
Подставим (.)С (-2;-1) в уравнение (АВ) x-3y-16=-2-3.(-1)-16 =-15<0
Подставим (.)В (4;-4) в уравнение (АС) 4x+3y+11=4.4+3.(-4)+11=15>0
Подставим (.)А (1;-5) в уравнение (ВС) x+2y+4=1+2. (-5)+4=-5<0
Теперь можно записать систему неравенств:
1) длина стороны АВ: =
2) внутренний угол А с точностью градуса: А »108°;
3) уравнение и длина высоты, опущенной из вершины С: 3x+y+7=0 - (CD) иед.дл.
4) точка пересечения высот О: (-56/15;63/15);
5) уравнение медианы, проведенной через вершину С: 7x+9y+23=0 - (CE);
6) система линейных неравенств, определяющих треугольник АВС: