Представим комплексное число z=-1-i в тригонометрической форме: z=|z|*(cosφ+isinφ) |z|=√((-1)²+(-1)²)=√2 Поскольку a<0 и b<0 φ=-π+arctg(b/a)=-π+arctg(-1/-1)=-π+arctg1=-π+π/4=-3π/4 Таким образом комплексное число в тригонометрической форме будет выглядеть: z=√2(cos(-3π/4)+isin(-3π/4)) Далее используем формулу Муавра: zⁿ=|z|ⁿ(cos(nφ)+isin(nφ)) z¹⁵=(-1-i)¹⁵=√2¹⁵(cos(15*(-3π/4)+isin(15*(-3π/4))= =128√2(cos(-45π/4)+isin(-45π/4)=128√2(cos(-5π/4)+isin(-5π/4)= =128√2(-1/√2+i(1/√2)=-128+i128
x³=3-3i x=∛(3-3i) Корни ищем по формуле: xₐ=∛|ω|(cos((φ+2πa)/3)+isin((φ+2πa)/3)), где |ω| -модуль комплексного числа, коэффициент а принимает значения а={0,1,2} Находим модуль и аргумент комплексного числа ω=3-3i |ω|=√(3²+(-3)²=√18 Число ω располагается в 4-й четверти, поэтому φ=arctg(b/a)=arctg(-3)/3=arctg(-1)=-π/4 Детализируем формулу xₐ=∛√18(cos((-π/4+2πa)/3)+isin((-π/4+2πa)/3)) Подставляем значения а и находим корни x₀=⁶√18(cos(-π/12)+isin(-π/12) x₁=⁶√18(cos(-π/4+2π)+isin(-π/4+2π))=⁶√18(cos(7π/4)+isin(7π/4)) x₂=⁶√18(cos(-π/4+4π)+isin(-π/4+4π)=⁶√18(cos(15π/4)+isin(15π/4))
НОД(a,b) = 525/105 = 5,
a*b=525 = 3*175 = 3*5*5*7,
НОК =105 = 3*35 = 3*5*7,
НОД = 5.
a=3*5 = 15;
b = 5*7 = 35.
2) НОД = 7, a*b = 294=2*147 = 2*3*7*7,
НОК = 294/7 = 42 = 2*3*7.
a = 2*7 = 14
b = 3*7 = 21.
3) НОД = 5, a:b = 13:8 = 13/8 = 13*5/(8*5);
a = 13*5 = 65;
b = 8*5 = 40.
4) НОК = 224, a:b = 7:8,
224 = 2*2*56 = 2*2*7*8 = (2^5)*7,
a = 7*t; b=8*t,
b = (2^3)*t;
224 = 7*8*(2^2) = 7*8*4,
a = 7*4 = 28,
b = 8*4 = 32.
5) НОД = 3, НОК = 915 = 3*305 = 3*5*61,
a = 3*5 = 15,
b = 3*61 = 183.
z=|z|*(cosφ+isinφ)
|z|=√((-1)²+(-1)²)=√2
Поскольку a<0 и b<0
φ=-π+arctg(b/a)=-π+arctg(-1/-1)=-π+arctg1=-π+π/4=-3π/4
Таким образом комплексное число в тригонометрической форме будет выглядеть:
z=√2(cos(-3π/4)+isin(-3π/4))
Далее используем формулу Муавра:
zⁿ=|z|ⁿ(cos(nφ)+isin(nφ))
z¹⁵=(-1-i)¹⁵=√2¹⁵(cos(15*(-3π/4)+isin(15*(-3π/4))=
=128√2(cos(-45π/4)+isin(-45π/4)=128√2(cos(-5π/4)+isin(-5π/4)=
=128√2(-1/√2+i(1/√2)=-128+i128
x³=3-3i
x=∛(3-3i)
Корни ищем по формуле:
xₐ=∛|ω|(cos((φ+2πa)/3)+isin((φ+2πa)/3)),
где |ω| -модуль комплексного числа, коэффициент а принимает значения а={0,1,2}
Находим модуль и аргумент комплексного числа ω=3-3i
|ω|=√(3²+(-3)²=√18
Число ω располагается в 4-й четверти, поэтому
φ=arctg(b/a)=arctg(-3)/3=arctg(-1)=-π/4
Детализируем формулу
xₐ=∛√18(cos((-π/4+2πa)/3)+isin((-π/4+2πa)/3))
Подставляем значения а и находим корни
x₀=⁶√18(cos(-π/12)+isin(-π/12)
x₁=⁶√18(cos(-π/4+2π)+isin(-π/4+2π))=⁶√18(cos(7π/4)+isin(7π/4))
x₂=⁶√18(cos(-π/4+4π)+isin(-π/4+4π)=⁶√18(cos(15π/4)+isin(15π/4))