Натуральные числа разбиваются на два непересекающихся множества вида 2m и 2m+1, где m - натуральное. а) (2m)^2 + 2m + 1 = 4m^2 + 2m + 1 = 2(2m^2+m) + 1, где 2m^2+m натуральное (в силу того, что произведение и сумма натуральных числе всегда натуральна), будет нечётным. (2m+1)^2 + (2m+1) + 1 = 4m^2 + 4m + 1 + 2m + 1 + 1 = 4m^2 + 6m + 2 + 1 = 2(2m^2 + 3m + 1) + 1, где 2m^2 + 3m + 1 натуральное, будет нечётным.
b) Квадрат чётного числа - чётный. Потому число n^2 + n + 1 не может быть квадратом чётного числа. Покажем, что число не может быть и квадратом нечётного числа: n^2 + n + 1 = n^2 + 2n + 1 - n = (n+1)^2 - n Т.е. число n^2 + n + 1 отличается от квадрата (n + 1)^2 на n единиц. Может ли такое число быть квадратом? (n + 1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1 > n Не может.
Цельная и стройная запись решения: n^2 < n^2 + n + 1 = (n + 1)^2 - n < (n + 1)^2 Т.к. число n^2 + n + 1 лежит между двумя квадратами последовательных натуральных чисел, само оно не может быть квадратом натурального числа.
1) х⁴-5х²+4=0
Пусть у=х2, тогда
у2-5у=4=0
у1+у2=5
у1*у2=4
у1=4 у2=1
х=2 х=-2 х=1 х=-1
ответ:-2;-1;1;2
2) x⁴-8х2-9=0
Пусть у=х2, тогда
у2-8у-9=0
у1+у2=8
у1*у2=-9
у1=9 у2=-1
х=3 х=-3
ответ: -3; 3
3) х⁴-11х²+30=0
Пусть у=х2, тогда
у2-11у+30=0
у1+у2=11
у1*у2=30
у1=5 у2=6
х=-/5 х=/5 х=/6 х=-/6 (*/* - корень)
ответ: -/6; -/5; /5; /6
4) x⁴ + 5х² + 10 = 0
Пусть у=х2, тогда
у2+5у+10=0 a=1 b=5 c=10
D=b2-4ac=25-40=-15<0, соответственно корней нет
ответ: нет решений
5) 2x⁴ - 5х² + 3= 0
Пусть у=х2, тогда
2у2-5у+3=0
у1+у2=5/2
у1*у2=3/2
у1=1 у2=3/2
х=1 х=-1 х=/6/2 х=-/6/2
ответ: -1; -/6/2; /6/2; 1
6) 9х⁴ + 23х2 -12 = 0
Пусть у=х2, тогда
9у2+23у-12=0
у1+у2=-23/9
у1*у2=-12/9
у1=-3 у2=4/9
х=-2/3 х=2/3
ответ: -2/3; 2/3
а) (2m)^2 + 2m + 1 = 4m^2 + 2m + 1 = 2(2m^2+m) + 1, где 2m^2+m натуральное (в силу того, что произведение и сумма натуральных числе всегда натуральна), будет нечётным.
(2m+1)^2 + (2m+1) + 1 = 4m^2 + 4m + 1 + 2m + 1 + 1 = 4m^2 + 6m + 2 + 1 =
2(2m^2 + 3m + 1) + 1, где 2m^2 + 3m + 1 натуральное, будет нечётным.
b) Квадрат чётного числа - чётный. Потому число n^2 + n + 1 не может быть квадратом чётного числа.
Покажем, что число не может быть и квадратом нечётного числа:
n^2 + n + 1 = n^2 + 2n + 1 - n = (n+1)^2 - n
Т.е. число n^2 + n + 1 отличается от квадрата (n + 1)^2 на n единиц. Может ли такое число быть квадратом?
(n + 1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1 > n
Не может.
Цельная и стройная запись решения:
n^2 < n^2 + n + 1 = (n + 1)^2 - n < (n + 1)^2
Т.к. число n^2 + n + 1 лежит между двумя квадратами последовательных натуральных чисел, само оно не может быть квадратом натурального числа.