Объяснение: * * * cos(-α) =cosα , sin2α=2sinα*cosα и формулы
приведения * * *
1) ( 1 +sin(4π -(π/2 +α) )+ cos(2π-2α) ) / (2sinα*cosα - sinα) =
( 1 - cosα+ cos2α ) / (2sinα*cosα - sinα) =(2cos²α -cosα) / (2cosα -1)sinα=
(2cosα -1)cosα / (2cosα -1)sinα = ctgα .
2) ( sin²α - 4sin²(α/2) ) / ( sin²α - 4+4sin²(α/2) ) =
( 4sin²(α/2) cos²(α/2) - 4sin²(α/2) ) / ( 4sin²(α/2) cos²(α/2) - 4(1 -sin²(α/2) ) =
- 4sin²(α/2) (1 - cos²(α/2) ) / - 4cos²(α/2)( 1 -sin²(α/2) ) =
sin⁴(α/2) / cos⁴(α/2)= tg⁴(α/2) .
3) (cos²α -sin²α ) / (1+sin2α) =
|| * * * 1+sin2α= cos²α+sin²α+2sinαcosα =(cosα+sinα)² * * * ||
= (cosα -sinα )(cosα+sinα) /(cosα+sinα)²= (cosα -sinα)/(cosα+sinα)
4) ( sin(α+β) - sin(α -β) ) / ( sin(α+β) +sin(α -β) ) =
|| sinα -sinβ =2sin( (α -β)/2 ) *cos( (α +β)/2 ) ||
|| sinα+sinβ =2sin( (α+β)/2 ) *cos( (α -β)/2 ) ||
= 2 sinβcosα / 2 sinαcosβ =(cosα / sinα) *(sinβ/cosβ) = ctgα *tgβ =
ctgα / ctg β.
* * * * * * * по другому * * * * * * *
( sin(α+β) - sin(α -β) ) / ( sin(α+β) +sin(α -β) ) =
( sinαcosβ+cosα*sinβ - (sinαcosβ-cosα*sinβ) ) *
1/ ( sinαcosβ+cosα*sinβ+ sinαcosβ-cosα*sinβ ) =
2cosα*sinβ /2 sinαcosβ =ctgα /ctgβ
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
5) ( (1+cosx)/sinx )*(1+ ( (1 -cosx)/sinx )² ) =
( (1+cosx)/sinx )*(sin²x +1 -2cosx+cos²x )/sin²x ) =
( (1+cosx)/sinx )*( 2(1 -cosx))/sin²x ) = 2(1+cosx)(1-cosx) /sin³x =
2(1 - cos²x) /sin³x =2sin²x/ sin³x = 2 / sinx .
= ( 2cos²(x/2) / 2sin(x/2)*cos(x/2) )*(1+ ( 2sin²(x/2) / 2sin(x/2)*cos(x/2) )² ) =
(cos(x/2) / sin(x/2) )*( 1 + sin²(x/2) / cos²(x/2) ) =
(cos(x/2) /sin(x/2) )*( ( cos²(x/2) + sin²(x/2) ) /cos²(x/2) ) =
(cos(x/2) /sin(x/2) )* ( 1 / cos²(x/2) ) = 1 /( cos(x/2)*sin(x/2) ) =2/sinx
1. Чтобы найти точки минимума и максимума функции:
1) Находим производную, приравниваем ее к 0 и находим критические точки
2) Находим точки на концах отрезка
a) у = х³ + 3- х² на отрезке [0; 3]
y'=(х³ + 3- х²)'=3x²-2х=0
х=0 х=2/3
+ - +
02/3
Обе точки входят в интервал [0;3]
y(0)=(0+3-0)=3
y(2/3)=(2/3)³+3-(2/3)²=8/27+3-4/9=2 23/27
y(3)=3³+3-3²=21
Наибольшее значение на отрезке [0;3]: 21
Наименьшее значение на отрезке [0;3]: 2 23/27
b) у = х³ + 6х² - 4 на отрезке [ -1; 3 ]
y'=(х³ + 6х² - 4)'=3x²+12x=3x(x+4)=0
-40
-4 ∉ [-1; 3]
y(-1)=-1+6-4=1
y(0)=0+0-4=-4
y(3)=3³+6*3²-4=77
Наибольшее значение на отрезке [-1;3]: 77
Наименьшее значение на отрезке [-1;3]: 1
c) у = 2х³ - 6х² + 3 на отрезке [1; 3]
y'=(2х³ - 6х² + 3)'=6x²-12x=6x(x-2)=0
02
0 ∉ [1; 3]
y(1)=2-6+3=-1
y(2)=2*2³-6*2²+3=16-24+3=-5
y(3)=2*3³-6*3²+3=3
Наибольшее значение на отрезке [1;3]: 3
Наименьшее значение на отрезке [1;3]: -5
2.
х м длина комнаты
42/х м - ширина комнаты
Р=2(х+42/х) периметр комнаты
120*2(х+42/х) затраты
Поскольку затраты минимальны, то найдем производную функции:
(240*(х+42/х))'=240(1-42/x²)
Приравняем произаодную к 0 и найдем критический точки:
240(1-42/х²)=0
(х²-42)/х²=0
+ - - +
-√420√42
Значит минимальным значением будет ширина √42 м, то есть при квадратной комнате.
Поскольку нам надо найти целый значение, то макисмально приближенные целые значения 6 м *7 м.
ответ 6 м* 7 м
3.
V=πR²h=64π объем цилиндра
h=64π/(πR²)=64/r²
S=πr²+2πrh=πr²+2πr*64/r²=πr²+128π/r площадь открытого резервуар
Чтобы определить минимум найдем производную:
S'=(πr²+128π/r)'=2πr-128π/r²=2π(r²-64)/r²=2π(r-8)(r+8)/r²
-808
Наименьшее значение при r=8 дм
h=64/8²=1 дм
Объяснение: * * * cos(-α) =cosα , sin2α=2sinα*cosα и формулы
приведения * * *
1) ( 1 +sin(4π -(π/2 +α) )+ cos(2π-2α) ) / (2sinα*cosα - sinα) =
( 1 - cosα+ cos2α ) / (2sinα*cosα - sinα) =(2cos²α -cosα) / (2cosα -1)sinα=
(2cosα -1)cosα / (2cosα -1)sinα = ctgα .
2) ( sin²α - 4sin²(α/2) ) / ( sin²α - 4+4sin²(α/2) ) =
( 4sin²(α/2) cos²(α/2) - 4sin²(α/2) ) / ( 4sin²(α/2) cos²(α/2) - 4(1 -sin²(α/2) ) =
- 4sin²(α/2) (1 - cos²(α/2) ) / - 4cos²(α/2)( 1 -sin²(α/2) ) =
sin⁴(α/2) / cos⁴(α/2)= tg⁴(α/2) .
3) (cos²α -sin²α ) / (1+sin2α) =
|| * * * 1+sin2α= cos²α+sin²α+2sinαcosα =(cosα+sinα)² * * * ||
= (cosα -sinα )(cosα+sinα) /(cosα+sinα)²= (cosα -sinα)/(cosα+sinα)
4) ( sin(α+β) - sin(α -β) ) / ( sin(α+β) +sin(α -β) ) =
|| sinα -sinβ =2sin( (α -β)/2 ) *cos( (α +β)/2 ) ||
|| sinα+sinβ =2sin( (α+β)/2 ) *cos( (α -β)/2 ) ||
= 2 sinβcosα / 2 sinαcosβ =(cosα / sinα) *(sinβ/cosβ) = ctgα *tgβ =
ctgα / ctg β.
* * * * * * * по другому * * * * * * *
( sin(α+β) - sin(α -β) ) / ( sin(α+β) +sin(α -β) ) =
( sinαcosβ+cosα*sinβ - (sinαcosβ-cosα*sinβ) ) *
1/ ( sinαcosβ+cosα*sinβ+ sinαcosβ-cosα*sinβ ) =
2cosα*sinβ /2 sinαcosβ =ctgα /ctgβ
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
5) ( (1+cosx)/sinx )*(1+ ( (1 -cosx)/sinx )² ) =
( (1+cosx)/sinx )*(sin²x +1 -2cosx+cos²x )/sin²x ) =
( (1+cosx)/sinx )*( 2(1 -cosx))/sin²x ) = 2(1+cosx)(1-cosx) /sin³x =
2(1 - cos²x) /sin³x =2sin²x/ sin³x = 2 / sinx .
* * * * * * * по другому * * * * * * *
= ( 2cos²(x/2) / 2sin(x/2)*cos(x/2) )*(1+ ( 2sin²(x/2) / 2sin(x/2)*cos(x/2) )² ) =
(cos(x/2) / sin(x/2) )*( 1 + sin²(x/2) / cos²(x/2) ) =
(cos(x/2) /sin(x/2) )*( ( cos²(x/2) + sin²(x/2) ) /cos²(x/2) ) =
(cos(x/2) /sin(x/2) )* ( 1 / cos²(x/2) ) = 1 /( cos(x/2)*sin(x/2) ) =2/sinx
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
1. Чтобы найти точки минимума и максимума функции:
1) Находим производную, приравниваем ее к 0 и находим критические точки
2) Находим точки на концах отрезка
a) у = х³ + 3- х² на отрезке [0; 3]
y'=(х³ + 3- х²)'=3x²-2х=0
х=0 х=2/3
+ - +
02/3
Обе точки входят в интервал [0;3]
y(0)=(0+3-0)=3
y(2/3)=(2/3)³+3-(2/3)²=8/27+3-4/9=2 23/27
y(3)=3³+3-3²=21
Наибольшее значение на отрезке [0;3]: 21
Наименьшее значение на отрезке [0;3]: 2 23/27
b) у = х³ + 6х² - 4 на отрезке [ -1; 3 ]
y'=(х³ + 6х² - 4)'=3x²+12x=3x(x+4)=0
+ - +
-40
-4 ∉ [-1; 3]
y(-1)=-1+6-4=1
y(0)=0+0-4=-4
y(3)=3³+6*3²-4=77
Наибольшее значение на отрезке [-1;3]: 77
Наименьшее значение на отрезке [-1;3]: 1
c) у = 2х³ - 6х² + 3 на отрезке [1; 3]
y'=(2х³ - 6х² + 3)'=6x²-12x=6x(x-2)=0
+ - +
02
0 ∉ [1; 3]
y(1)=2-6+3=-1
y(2)=2*2³-6*2²+3=16-24+3=-5
y(3)=2*3³-6*3²+3=3
Наибольшее значение на отрезке [1;3]: 3
Наименьшее значение на отрезке [1;3]: -5
2.
х м длина комнаты
42/х м - ширина комнаты
Р=2(х+42/х) периметр комнаты
120*2(х+42/х) затраты
Поскольку затраты минимальны, то найдем производную функции:
(240*(х+42/х))'=240(1-42/x²)
Приравняем произаодную к 0 и найдем критический точки:
240(1-42/х²)=0
(х²-42)/х²=0
+ - - +
-√420√42
Значит минимальным значением будет ширина √42 м, то есть при квадратной комнате.
Поскольку нам надо найти целый значение, то макисмально приближенные целые значения 6 м *7 м.
ответ 6 м* 7 м
3.
V=πR²h=64π объем цилиндра
h=64π/(πR²)=64/r²
S=πr²+2πrh=πr²+2πr*64/r²=πr²+128π/r площадь открытого резервуар
Чтобы определить минимум найдем производную:
S'=(πr²+128π/r)'=2πr-128π/r²=2π(r²-64)/r²=2π(r-8)(r+8)/r²
+ - - +
-808
Наименьшее значение при r=8 дм
h=64/8²=1 дм