Натуральные числа разбиваются на два непересекающихся множества вида 2m и 2m+1, где m - натуральное. а) (2m)^2 + 2m + 1 = 4m^2 + 2m + 1 = 2(2m^2+m) + 1, где 2m^2+m натуральное (в силу того, что произведение и сумма натуральных числе всегда натуральна), будет нечётным. (2m+1)^2 + (2m+1) + 1 = 4m^2 + 4m + 1 + 2m + 1 + 1 = 4m^2 + 6m + 2 + 1 = 2(2m^2 + 3m + 1) + 1, где 2m^2 + 3m + 1 натуральное, будет нечётным.
b) Квадрат чётного числа - чётный. Потому число n^2 + n + 1 не может быть квадратом чётного числа. Покажем, что число не может быть и квадратом нечётного числа: n^2 + n + 1 = n^2 + 2n + 1 - n = (n+1)^2 - n Т.е. число n^2 + n + 1 отличается от квадрата (n + 1)^2 на n единиц. Может ли такое число быть квадратом? (n + 1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1 > n Не может.
Цельная и стройная запись решения: n^2 < n^2 + n + 1 = (n + 1)^2 - n < (n + 1)^2 Т.к. число n^2 + n + 1 лежит между двумя квадратами последовательных натуральных чисел, само оно не может быть квадратом натурального числа.
а) (2m)^2 + 2m + 1 = 4m^2 + 2m + 1 = 2(2m^2+m) + 1, где 2m^2+m натуральное (в силу того, что произведение и сумма натуральных числе всегда натуральна), будет нечётным.
(2m+1)^2 + (2m+1) + 1 = 4m^2 + 4m + 1 + 2m + 1 + 1 = 4m^2 + 6m + 2 + 1 =
2(2m^2 + 3m + 1) + 1, где 2m^2 + 3m + 1 натуральное, будет нечётным.
b) Квадрат чётного числа - чётный. Потому число n^2 + n + 1 не может быть квадратом чётного числа.
Покажем, что число не может быть и квадратом нечётного числа:
n^2 + n + 1 = n^2 + 2n + 1 - n = (n+1)^2 - n
Т.е. число n^2 + n + 1 отличается от квадрата (n + 1)^2 на n единиц. Может ли такое число быть квадратом?
(n + 1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1 > n
Не может.
Цельная и стройная запись решения:
n^2 < n^2 + n + 1 = (n + 1)^2 - n < (n + 1)^2
Т.к. число n^2 + n + 1 лежит между двумя квадратами последовательных натуральных чисел, само оно не может быть квадратом натурального числа.
1) (x + 2)(x² - 2x + 4) - x(x - 3)(x + 3) - 42 =
х³ - 2х + 4х + 2х² - 4х + 8 - х³ - 3х² + 3х² + 9х - 42 =
х³ - х³ + 2х² - 3х² + 3х² - 2х + 4х - 4х + 9х + 8 - 42 =
2х² + 7х - 34
2) (x - 3)(x² + 3x + 9) - x(x²- 16) + 21=
х³ + 3х² + 9х - 3х² - 9х - 27 - х³ + 16х + 21 =
х³ - х³ + 3х² - 3х² + 9х - 9х + 16х - 27 + 21 =
16х - 6
3) (2x - 1)(4x² + 2x + 1)-23 - 4x(2x² + 3) =
8х³ + 4х² + 2х - 4х² - 2х - 1 - 23 - 8х³ - 12х =
8х³ - 8х³ + 4х² - 4х² + 2х - 2х - 12х - 1 - 23 =
-12х - 24
4) 16x(4x² - 5) + 17 - (4x + 1)(16x² - 4x + 1) =
64х³ - 80х + 17 - 64х³ - (16х + 4х + 16х² - 4х + 1) =
64х³ - 80х + 17 - 64х³ - 16х - 4х - 16х² + 4х - 1 =
64х³ - 64х³ - 16х² - 80х - 16х - 4х + 4х + 17 - 1 =
- 16х² - 96х + 16