* Острый угол прямоугольного треугольника равен 60°, а гипотенуза равна 72. Найдите отрезки, на которые делит
гипотенузу высота, проведённая из вершины прямого угла.

(x - 9)/(5 - 0.2^(10 - x)) ≥ 0
Учтём, что 0,2 = 1/5 = 5⁻¹
Теперь наш пример:
(х - 9)/(5 - 5ˣ⁻¹⁰) ≥ 0
Метод интервалов. ищем нули числителя и знаменателя:
а) х - 9 = 0
     х = 9
б) 5 - 5ˣ⁻¹⁰ = 0
    5ˣ⁻¹⁰ = 5
     х - 10 = 1
     х = 11
теперь числовая прямая:
-∞             [9]              (11)             +∞
          -              +                +           знаки (х - 9)
         +              +                 -           знаки (5 - 5ˣ⁻¹⁰  )
                                      решение неравенства
х∈ [9; 11)
целые решения: 9  и  10
ответ: 90

Найдём производную функции:
f(x) = 25 - eˣ·x² - 1/9·b²·eˣ
f'(x) = -(eˣ·x² + 2x·eˣ) - 1/9b²·eˣ = -eˣ·x² - 2x·eˣ - 1/9b²·eˣ = eˣ·(-x² - 2x - 1/9b²)
f'(x) ≥ 0
eˣ·(-x² - 2x - 1/9b²) ≥ 0
eˣ > 0 при любых x, поэтому решаем неравенство только с тем, что в скобках:
-x² - 2x - 1/9b² ≥ 0
x² + 2x + 1/9b²  ≤ 0
Решим уравнение x² - 2x + 1/9b² = 0
x² - 2x + 1/9b² = 0
D = 4 - 4/9b²
Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство будет неверно, а значит, функция будет убывать тогда, когда D ≤ 0
4 - 4/9b² ≤  0
(2 - 2/3b)(2 + 2/3b) ≤ 0
(1 - 1/3b)(1 + 1/3b) ≤ 0
(-b + 3)(b + 3) ≤ 0
(b - 3)(b + 3) ≥ 0
  +-3                 -              3+      
●●> b
Наименьшее натуральное b = 3 (-3 - не натуральное).  
ответ: при b = 3.