В 1 бочке 3 л спирта на 7 л воды. Во 2 бочке 2 л спирта на 5 л воды. Мы берем x л из 1 бочки (3x/7 л спирта) и y л из 2 бочки (2y/5 л спирта) и получаем 16 л, в которых 5 л спирта. { x + y = 16 { 3x/7 + 2y/5 = 5 Умножаем 2 уравнение на 5*7 = 35 и подставляем 1 уравнение { y = 16 - x { 3x*5 + 2*7(16-x) = 5*5*7 15x + 224 - 14x = 175 x = 175 - 224 = -49 Такого не может быть. Можно попробовать подобрать. Очевидно, количество смеси из 1 бочки должно делиться на 7. Так как всего нужно получить 16 л, то это может быть только 7 или 14 л. Если мы берем 14 л, то в них 6 л спирта, а нам нужно 5. Не подходит. Если мы берем 7 л, то в них 3 л спирта. Чтобы получить 5 л, нужно добавить еще 2 л спирта, то есть 5 л смеси из 2 бочки. Но тогда всего будет 12, а не 16 л смеси.
Отыщем область значений указанной функции. Для этого сначала преобразуем определённым образом подкоренное выражение для удобства: раскроем скобки, затем дважды используем формулу понижения степени, приведя выражение к квадратному трёхчлену относительно некоторой функции.
Таким образом, мы смогли привести подкоренное выражение к квадратному трёхчлену относительно sin4x. На всякий случай скажу, что в препоследнем равенстве с формулы понижения степени я выразил квадрат синуса через косинус удвоенного угла.
Теперь всё сводится к нахождению наименьшего и наибольшего значений полученного трёхчлена. Если мы сделаем замену t = sin 4x, то получаем квадратный трёхчлен , ветви соответствующей параболы которого направлены вниз в силу отрицательности коэффициента при квадрате. Найдём её абсциссу оси симметрии: . Следовательно, квадратичная функция правее оси симметрии монотонно убывает, то есть, при . Поэтому большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. В частности, это происходит и на отрезке . Почему этот отрезок важен, так потому, что вспоминаем, что t - это у нас не переменная сама по себе, а синус, который принимает значения именно из указанного отрезка.
Итак, на отрезке [-1,1] квадратный трёхчлен относительно t убывает, поэтому наименьшее его значение достигается в правом конце(в точке 1), а наибольшее - в левом(в точке -1). То есть, , где . То есть, .
А тогда квадратный корень из этого выражения(в силу своей монотонности), даёт . Теперь считаем, какие целые числа входят в полученную область значений. 0, 1, 2, 3 - и всё. Их ровно 4.
Мы берем x л из 1 бочки (3x/7 л спирта) и y л из 2 бочки (2y/5 л спирта)
и получаем 16 л, в которых 5 л спирта.
{ x + y = 16
{ 3x/7 + 2y/5 = 5
Умножаем 2 уравнение на 5*7 = 35 и подставляем 1 уравнение
{ y = 16 - x
{ 3x*5 + 2*7(16-x) = 5*5*7
15x + 224 - 14x = 175
x = 175 - 224 = -49
Такого не может быть.
Можно попробовать подобрать.
Очевидно, количество смеси из 1 бочки должно делиться на 7.
Так как всего нужно получить 16 л, то это может быть только 7 или 14 л.
Если мы берем 14 л, то в них 6 л спирта, а нам нужно 5. Не подходит.
Если мы берем 7 л, то в них 3 л спирта. Чтобы получить 5 л, нужно добавить еще 2 л спирта, то есть 5 л смеси из 2 бочки.
Но тогда всего будет 12, а не 16 л смеси.
Для этого сначала преобразуем определённым образом подкоренное выражение для удобства: раскроем скобки, затем дважды используем формулу понижения степени, приведя выражение к квадратному трёхчлену относительно некоторой функции.
Таким образом, мы смогли привести подкоренное выражение к квадратному трёхчлену относительно sin4x. На всякий случай скажу, что в препоследнем равенстве с формулы понижения степени я выразил квадрат синуса через косинус удвоенного угла.
Теперь всё сводится к нахождению наименьшего и наибольшего значений полученного трёхчлена. Если мы сделаем замену t = sin 4x, то получаем квадратный трёхчлен
, ветви соответствующей параболы которого направлены вниз в силу отрицательности коэффициента при квадрате. Найдём её абсциссу оси симметрии:
Итак, на отрезке [-1,1] квадратный трёхчлен относительно t убывает, поэтому наименьшее его значение достигается в правом конце(в точке 1), а наибольшее - в левом(в точке -1). То есть,
То есть,
А тогда квадратный корень из этого выражения(в силу своей монотонности), даёт
Теперь считаем, какие целые числа входят в полученную область значений.
0, 1, 2, 3 - и всё. Их ровно 4.