ответе на вопросы !! 1. Какие числа называются натуральными? Является ли о натуральным числом? Всегда
ли натуральных чисел нацело? Сформулируйте признаки деления на 3, 5,9.
2. Что называют k-ой степенью числа р? Назовите основание, показатель степени числа
53? Чему равно произведение степеней с одним и тем же показателем? Чему равен
показатель степени при возведении степени числа в степень?
3. Какое число называется простым; составным? Назовите наименьшее простое число. Из
каких чисел состоит множество натуральных чисел?
4. Что называют делителем числа? Простым делителем числа? Что значит разложить
число на простые множители? Сформулируйте основную теорему арифметики?
5. Что называют положительным рациональным числом? Какую дробь называют
несократимой? Можно ли натуральное число записать в виде обыкновенной дроби или
конечной десятичной дроби? В чем заключается основное свойство дроби? Какую
дробь называют правильной; неправильной?
6. Какие делители должен иметь знаменатель обыкновенной несократимой дроби, чтобы
она разлагалась в конечную десятичную дробь? Какими можно разложить
обыкновенную дробь в десятичную?
7. В каком случае несократимая обыкновенная дробь не разлагается в конечную
десятичную дробь? Какие десятичные дроби могут получиться при делении уголком
числителя обыкновенной дроби на знаменатель? Как узнать, разлагается обыкновенная
дробь в конечную или же бесконечную десятичную дробь? Что такое период?
8. Какие числа называются рациональными? Может ли рациональное число быть целым?
В каком виде можно записать любое рациональное число? В результате каких действий
с целыми числами всегда получается целое число? В результате каких действий с
рациональными числами всегда получается рациональное число?
9. Какие числа называются иррациональными числами? Какие действия можно
выполнять с иррациональными числами? Что такое множество действительных чисел?
Что называют абсолютной величиной действительного числа? Какие числа называют
противоположными?

Немного теории

Уравнения в целых числах – это алгебраические уравнения с двумя или более неизвестными переменными и целыми коэффициентами. Решениями такого уравнения являются все целочисленные (иногда натуральные или рациональные) наборы значений неизвестных переменных, удовлетворяющих этому уравнению. Такие уравнения ещё называют диофантовыми, в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского, который исследовал некоторые типы таких уравнений ещё до нашей эры.

Современной постановкой диофантовых задач мы обязаны французскому математику Ферма. Именно он поставил перед европейскими математиками вопрос о решении неопределённых уравнений только в целых числах. Наиболее известное уравнение в целых числах – великая теорема Ферма: уравнение

xn + yn = zn

не имеет ненулевых рациональных решений для всех натуральных n > 2.

Теоретический интерес к уравнениям в целых числах достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны со многими проблемами теории чисел.

В 1970 году ленинградский математик Юрий Владимирович Матиясевич доказал, что общего позволяющего за конечное число шагов решать в целых числах произвольные диофантовы уравнения, не существует и быть не может. Поэтому следует для разных типов уравнений выбирать собственные методы решения.

При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие методы:

перебора вариантов;

применение алгоритма Евклида;

представление чисел в виде непрерывных (цепных) дробей;

разложения на множители;

решение уравнений в целых числах как квадратных (или иных) относительно какой-либо переменной;

метод остатков;

метод бесконечного спуска.

Задачи с решениями

1. Решить в целых числах уравнение x2 – xy – 2y2 = 7.

Решение

Запишем уравнение в виде (x – 2y)(x + y) = 7.

Так как х, у – целые числа, то находим решения исходного уравнения, как решения следующих четырёх систем:

1) x – 2y = 7, x + y = 1;

2) x – 2y = 1, x + y = 7;

3) x – 2y = –7, x + y = –1;

4) x – 2y = –1, x + y = –7.

Решив эти системы, получаем решения уравнения: (3; –2), (5; 2), (–3; 2) и (–5; –2).

ответ: (3; –2), (5; 2), (–3; 2), (–5; –2).

2. Решить в целых числах уравнение:

а) 20х + 12у = 2013;

б) 5х + 7у = 19;

в) 201х – 1999у = 12.

Решение

а) Поскольку при любых целых значениях х и у левая часть уравнения делится на два, а правая является нечётным числом, то уравнение не имеет решений в целых числах.

ответ: решений нет.

б) Подберём сначала некоторое конкретное решение. В данном случае, это просто, например,

x0 = 1, y0 = 2.

Тогда

5x0 + 7y0 = 19,

откуда

5(х – x0) + 7(у – y0) = 0,

5(х – x0) = –7(у – y0).

Поскольку числа 5 и 7 взаимно простые, то

х – x0 = 7k, у – y0 = –5k.

Значит, общее решение:

х = 1 + 7k, у = 2 – 5k,

где k – произвольное целое число.

ответ: (1+7k; 2–5k), где k – целое число.

Объяснение:

поставь лайк за старания

а) прямая проходит через начало координат, т. е. через точку О (0;0), а также через точку А (0,6;-2,4). это значит что у=0 при х=0 и у=-2,4 при х=0,6. графиком функции является прямая. уравнение прямой - у=к*х осталось найти коэффициент к. -2,4 = (-4)*0.6 отсюда у=-4х б) прямая пересекает оси координат в точках В (0;4) и С (-2,5;0). получаем систему уравнений 4=0*к+а и 0=(-2.5)*к+а. из первого уравнения а=4 подставляем значение а во второе уравнение и рассчитываем к. в итоге получаем к=1,6. у=1.6х+4