Сумма квадратов членов прогрессии может быть записана в виде S1=b1²*(1+q²+q⁴+q⁶+). В скобках стоит бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем q². В условии дана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, а это значит, что её знаменатель q удовлетворяет условию 0<q<1. Но тогда и 0<q²<1, то есть прогрессия в скобках имеет сумму, равную 1/(1-q²). Тогда S1=b1²/(1-q²). А сумма заданной в условии прогрессии S2=b1/(1-q). По условию, S1/S2=b1/(1+q)=16/3. С другой стороны, по условию b2=b1*q=4. Мы получили систему из двух уравнений для определения b1 и q:
b1/(1+q)=16/3; b1*q=4
Из второго уравнения находим q=4/b1. Подставляя это выражение в первое уравнение, приходим к уравнению b1²/(b1+4)=16/3, которое приводится к квадратному уравнению 3*b1²-16*b1-64=0. Дискриминант D=(-16)²-4*3*(-64)=1024=32². Тогда b1=(16+32)/6=8, b2=(16-32)/6=-16/6=-8/3. Но так как прогрессия по условию- убывающая, то b1>b2. Значит, b1=8. Тогда q=b2/b1=4/8=1/2 и искомая сумма S7=8*((1/2)⁷-1)/(1/2-1)=8*(1-(1/2)⁷)/(1-1/2)=16*(1-(1/2)⁷)=16*(1-1/128)=16*127/128=127/8. ответ: 127/8.
b1/(1+q)=16/3;
b1*q=4
Из второго уравнения находим q=4/b1. Подставляя это выражение в первое уравнение, приходим к уравнению b1²/(b1+4)=16/3, которое приводится к квадратному уравнению 3*b1²-16*b1-64=0. Дискриминант D=(-16)²-4*3*(-64)=1024=32². Тогда b1=(16+32)/6=8,
b2=(16-32)/6=-16/6=-8/3. Но так как прогрессия по условию- убывающая, то b1>b2. Значит, b1=8. Тогда q=b2/b1=4/8=1/2 и искомая сумма S7=8*((1/2)⁷-1)/(1/2-1)=8*(1-(1/2)⁷)/(1-1/2)=16*(1-(1/2)⁷)=16*(1-1/128)=16*127/128=127/8. ответ: 127/8.
В решении.
Объяснение:
Задача 1.
Формула движения: S=v*t
S - расстояние v - скорость t – время
х - скорость первого автомобиля.
1 - весь путь.
1/х - время первого автомобиля.
0,5/55 + 0,5/(х + 6) - время второго автомобиля.
Путь одновременно, уравнение:
1/х = 0,5/55 + 0,5/(х + 6)
Умножить все части уравнения на 55*х*(х + 6), чтобы избавиться от дробного выражения:
55(х + 6) = 0,5*х(х + 6) + 0,5*55х
55х + 330 = 0,5х² + 3х + 27,5х
-0,5х² + 55х - 30,5х + 330 = 0
-0,5х² + 24,5х + 330 = 0/-0,5
х² - 49х - 660 = 0, квадратное уравнение, ищем корни:
D=b²-4ac = 2401 + 2640 = 5041 √D= 71
х₁=(-b-√D)/2a
х₁=(49-71)/2
х₁= -22/2 = -11, отбрасываем, как отрицательный.
х₂=(-b+√D)/2a
х₂=(49+71)/2
х₂=120/2
х₂=60 (км/час) - скорость первого автомобиля.
Проверка:
1/60 = 0,5/55 + 0,5/66
1/60 = 5,5/330
1/60 = 1/60, верно.
Задача 2.
Формула движения: S=v*t
S - расстояние v - скорость t – время
х - собственная скорость теплохода.
х + 4 - скорость теплохода по течению.
х - 4 - скорость теплохода против течения.
513/(х + 4) - время теплохода по течению.
513/(х - 4) - время теплохода против течения.
Время в пути: 54 часа - 8 часов стоянка = 46 часов, уравнение:
513/(х + 4) + 513/(х - 4) = 46
Умножить все части уравнения на (х + 4)(х - 4), чтобы избавиться от дробного выражения:
513*(х - 4) + 513*(х + 4) = 46*(х + 4)(х - 4)
513х - 2052 + 513х + 2052 = 46х² - 736
1026х = 46х² - 736
-46х² + 1026х + 736 = 0
Разделить уравнение на -2 для упрощения:
23х² - 513х - 368 = 0, квадратное уравнение, ищем корни:
D=b²-4ac = 263169 + 33856 = 297025 √D=545
х₁=(-b-√D)/2a
х₁=(513-545)/46
х₁= -32/46, отбрасываем, как отрицательный.
х₂=(-b+√D)/2a
х₂=(513+545)/46
х₂=1058/46
х₂=23 (км/час) - собственная скорость теплохода.
Проверка:
513/27 + 513/19 + 8 = 19 + 27 + 8 = 54 (часа), верно.
Задача 3.
х - литров пропускает первая труба в минуту.
х + 3 - литров пропускает вторая труба в минуту.
928/х - время первой трубы.
928/(х + 3) - время второй трубы.
Разница 3 минуты, уравнение:
928/х - 928/(х + 3) = 3
Умножить все части уравнения на х(х + 3), чтобы избавиться от дробного выражения:
928*(х + 3) - 928*х = 3*х(х + 3)
928х + 2784 - 928х = 3х² + 9х
2784 = 3х² + 9х
-3х² - 9х + 2784 = 0
Разделить уравнение на -3 для упрощения:
х² + 3х - 928 = 0, квадратное уравнение, ищем корни:
D=b²-4ac = 9 + 3712 = 3721 √D=61
х₁=(-b-√D)/2a
х₁=(-3-61)/2
х₁= -64/2 = -32, отбрасываем, как отрицательный.
х₂=(-b+√D)/2a
х₂=(-3+61)/2
х₂=58/2
х₂= 29 - литров пропускает первая труба в минуту.
29+3 = 32 - литра пропускает вторая труба в минуту.
Проверка:
928/29 - 928/32 = 32 - 29 = 3 (минуты), верно.
Задача 4.
1 - весь заказ.
1/16 - производительность первого рабочего (часть заказа в час).
1/16 - производительность второго рабочего (часть заказа в час).
1/16 + 1/16 = 2/16 = 1/8 - общая производительность двух рабочих.
1) Найти часть заказа, которую выполнил первый рабочий за 2 часа:
1/16 * 2 = 1/8 (часть заказа).
2) Найти оставшуюся часть заказа:
1 - 1/8 = 7/8 (частей заказа).
3) Найти время, которое потребовалось двум рабочим выполнить оставшуюся часть заказа вместе:
7/8 : 1/8 = (7 * 8)/(8 * 1) = 7 (часов).
Перед этим первый рабочий потратил 2 часа.
Всего на выполнение заказа ушло 2 + 7 = 9 (часов).