logo
Войти Регистрация Спроси ai-bota
В
Все
М
Математика
А
Английский язык
Х
Химия
Э
Экономика
П
Право
И
Информатика
У
Українська мова
Қ
Қазақ тiлi
О
ОБЖ
Н
Немецкий язык
Б
Беларуская мова
У
Українська література
М
Музыка
П
Психология
А
Алгебра
Л
Литература
Б
Биология
М
МХК
О
Окружающий мир
О
Обществознание
И
История
Г
Геометрия
Ф
Французский язык
Ф
Физика
Д
Другие предметы
Р
Русский язык
Г
География
ИгорьВсемогущий

Положительные числа a, b, с таковы, что abc =1. докажите неравенство

Показать ответ
Ответ:
katy244
katy244
02.10.2020 03:59
 
abc=1\\
\frac{1}{a^3(b+c)} + \frac{1}{b^3(a+c)} + \frac{1}{c^3(b+a)} \geq \frac{3}{2}\\\\
 
После приведения под общим  знаменатель,получим                     
\frac{(ab+ac+bc)(a^3b^3+a^3c^3+a^2b^2c^2+b^3c^3)}{a^3b^3c^3(a+b)(a+c)(b+c)} = \\\\
abc=1\\\\
\frac{(ab+ac+bc)(a^3b^3+a^3c^3+b^3c^3+1)}{ (a+b)(a+c)(b+c)}

  
 Теперь по неравенству о средних получим 
 \frac{a^3b^3+a^3c^3+b^3c^3}{3} \geq \sqrt[3]{a^6b^6c^6}=a^2b^2c^2=1
 то есть a^3b^3+a^3c^3+c^3b^3 \geq 3 с учетом того что a0;b0;c0 
Так же            (a+b)(b+c)(a+c)=a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2+2\\
\frac{a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2}{6} \geq 1\\
a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2 \geq 6 
И включая \frac{(ab+bc+ac)*4}{8} \geq \frac{3}{2}\\
\frac{ab+bc+ac}{2} \geq \frac{3}{2} 
 прихожим к более легкому неравенству 
 ab+bc+ac \geq 3\\
\frac{ab+bc+ac}{3} \geq 1 \\
 \frac{ab+bc+ac}{3} \geq \sqrt[3]{a^2b^2c^2}=1
 
 то есть минимальное значение это \frac{3}{2}
 Что и требовалось  доказать
0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Алгебра
145781жл
145781жл
11.02.2023 20:46
Найдите среднее арифметическое корней уравнения: x квадрате-10х-39=0...
eniyo2005
eniyo2005
17.02.2020 16:05
Найдите координаты точек пересечения с осями координат графика функций y=7x +1,4...
darinakor140197nooii
darinakor140197nooii
17.02.2020 16:05
Решать за 8 1)моторная лодка км по течению реки и 13км против течения,затратив на весь путь 2 часа.найдите скорость течения реки,если скорость моторной лодки равна 15км\ч...
alex110403
alex110403
01.02.2023 09:44
Колесо машины за 2 секунды делает 6 оборотов. на сколько градусов повернется колесо за 1 секунду; за 10 секунд? (тема: градусные и радианные меры...
неудачник16
неудачник16
08.04.2023 00:18
Разложите на множители: а)у(а+с)+х(а+с) б)а(б-с)+с(с-б) в)(б-с)-а(с-б)...
alicahirdeeva
alicahirdeeva
08.04.2023 00:18
Найдите область значения функции: y= 3cos2x и y=-xsinx/2...
Памагити1111111
Памагити1111111
29.01.2023 17:08
cos750°+sin1530°-tg735°...
Dashka2005Dashka2005
Dashka2005Dashka2005
29.01.2023 17:08
Ребят осень нужно решить сама не справлюсь можно попонятнее обьяснить (8 класс) оч...
ixnivoodoo
ixnivoodoo
14.07.2022 17:36
раскрыть скобки, перевести подобные 2-решить уравнение...
z79090123488
z79090123488
30.09.2020 09:47
Укажите формулы задающую линейную функцию (фото)​...
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
О НАС
СООБЩЕСТВО
ПОМОЩЬ
App
.
.
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота