Постройте график функции и определите, при каких значениях прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.

Приравняем правые части и найдем общие координаты по оси Х (абсциссы):
1)
-1/3 *  х²  +3  =  х²  + 3х
х² + 3х   +  1/3  * х²   - 3 =0
1  1/3  х²   +  3х   -  3  = 0                  
D = 3²  -  4 *  1   1/3   *  3  = 9  + 12/1  * 4/3 = 9+16 = 25=5²
х₁ = (- 3 + 5)/ (2 *  1  1/3 ) = 2 :  (8/3) = 2/1 * 3/8  = 3/4
х₂ = (-3 - 5) /  (8/3)   = -8/1   *  3/8  =  -3
Абсциссы  точек пересечения графиков :  х₁ = 3/4  ;  х₂= - 3

2)
-0,5х² + 2,5  = 2х² + 5х
2х² + 5х  + 0,5х² - 2,5 = 0
2,5х² + 5х   - 2,5 = 0              |÷2.5
x² + 2x  -1=0
D= 2² - 4*(-1) * 1 = 4 + 4 = 8 
x₁= (-2  +√8) / (2*1) = (-2 + 2√2)/2 =  -1 +√2
x₂ = ( -2  - 2√2) /2  = -1 -√2
Абсциссы точек пересечения графиков: х₁ = - 1+√2 ;  х₂= -1 -√2

1)9x^2+12x+4=10+3(x^2+2x-2x-4)
9x^2+12x+4=10+3x^2+6x-6x-12
9x^2+12x+4-10-3x^2-6x+6x+12=0
6x^2+12x+6=0
D=12^2−4·6·6=144−144=0(Уравнение имеет один корень) 
X1=-12/2*6=-12/12=-1
2)4x^2-12x+9=9-2(x^2+3x-3x-9)
4x^2-12x+9=9-2x^2-6x+6x+18
4x^2-12x+9-9+2x^2+6x-6x-18=0
6x^2-12x-18=0
D=(−12)^2−4·6·(−18)=144+432=576=24
x1=-(-12)+24/2*6=36/12=3
X2=-(-12)-24/2*6=-12/12=-1
3)x^3-2x^2+4x+2x^2-4x+8-x^3-2x^2=0
-2x^2+8=0
2x^2-8=0
D=0^2−4·2·(−8)=0+64=64=8
x1=-0+8/2*2=8/4=2
x2=-0-8/2*2=-8/4=-2
4)x^3+x^2-x-x^2-x+1-x^3+x^2=0
x^2-2x+1=0
D=(−2)^2−4·1·1=4−4=0 (Уравнение имеет один корень)
x1=-(-2)/2*1=2/2=1