||2^x+x-2|-1| > 2^x-x-1 Раскрывать модули будем постепенно, снаружи, как будто снимая листья с кочана капусты))) Помним о важном правиле: |x| =x, если x>=0 |x|=-x, если x<0
Снимаем первый модуль и действуем согласно вышеупомянутому правилу: {|2^x+x-2|-1 >2^x-x-1 {|2^x+x-2|-1> -2^x+x+1 Переносим "-1" из левой части в правую: {|2^x+x-2| > 2^x-x {|2^x+x-2| > -2^x+x+2
2) Снимаем второй модуль и также действуем согласно модульному правилу: {2^x+x-2>2^x-x {2x-2>0 {2^x+x-2>x-2^x {2*2^x-2>0 {2^x+x-2>-2^x+x+2 {2*2^x-4>0 {2^x+x-2>2^x-x-2 {2x>0
{x>1 {x>1 {2^x>1 {x>0 {2^x>2 {x>1 {x>0 {x>0
Решением неравенства является промежуток (1; + беск.)
Т.к. в обоих случаях нужно обосновать, что L=0, определение преобразуется в утверждение
2)
А значит, если взять (*), . И правда:
(*) Очевидно, что для любого допустимого значения выражение определено и конечно, и при этом натуральное число (как сумма неотрицательного целого числа и 1). (*)
А это и означает, что предел данной последовательности равен 0
4)
А значит, если взять (**), . И правда:
(**) Очевидно, что для любого допустимого значения выражение определено и конечно, и при этом натуральное число (как сумма неотрицательного целого числа и 1). (**)
А это и означает, что предел данной последовательности равен 0
___________________________
2) a=1. Тогда
4)
___________________________
Обозначения и некоторые св-ва: {x} - дробная часть числа x, [x] - целая часть числа x.
Раскрывать модули будем постепенно, снаружи, как будто снимая листья с кочана капусты)))
Помним о важном правиле:
|x| =x, если x>=0
|x|=-x, если x<0
Снимаем первый модуль и действуем согласно вышеупомянутому правилу:
{|2^x+x-2|-1 >2^x-x-1
{|2^x+x-2|-1> -2^x+x+1
Переносим "-1" из левой части в правую:
{|2^x+x-2| > 2^x-x
{|2^x+x-2| > -2^x+x+2
2) Снимаем второй модуль и также действуем согласно модульному правилу:
{2^x+x-2>2^x-x {2x-2>0
{2^x+x-2>x-2^x {2*2^x-2>0
{2^x+x-2>-2^x+x+2 {2*2^x-4>0
{2^x+x-2>2^x-x-2 {2x>0
{x>1 {x>1
{2^x>1 {x>0
{2^x>2 {x>1
{x>0 {x>0
Решением неравенства является промежуток (1; + беск.)
По определению,![\left\{\underset{n\rightarrow\infty}{lim}x_n=L\right\}\Leftrightarrow\forall\varepsilon 0 \ \exists N: \ \forall n\geq N\rightarrow\left|x_n-L\right|](/tpl/images/3820/0626/deae5.png)
Т.к. в обоих случаях нужно обосновать, что L=0, определение преобразуется в утверждение![\left\{\underset{n\rightarrow\infty}{lim}x_n=0\right\}\Leftrightarrow\forall\varepsilon 0 \ \exists N: \ \forall n\geq N\rightarrow\left|x_n\right|](/tpl/images/3820/0626/425cf.png)
2)![x_n=\dfrac{a}{n}](/tpl/images/3820/0626/91672.png)
А значит, если взять
(*),
. И правда: ![\dfrac{|a|}{\varepsilon}](/tpl/images/3820/0626/b9eb2.png)
(*) Очевидно, что для любого допустимого значения
выражение
определено и конечно, и при этом натуральное число (как сумма неотрицательного целого числа и 1). (*)
А это и означает, что предел данной последовательности равен 0
4)![x_n=\dfrac{2+(-1)^n}{n}](/tpl/images/3820/0626/ce351.png)
А значит, если взять
(**),
. И правда: ![\dfrac{|2+(-1)^n|}{\varepsilon}\leq\dfrac{3}{\varepsilon}< \left[\dfrac{3}{\varepsilon}\right] +1=N\leq n \Rightarrow \dfrac{|2+(-1)^n|}{\varepsilon}< n \Rightarrow |x_n|](/tpl/images/3820/0626/49458.png)
(**) Очевидно, что для любого допустимого значения
выражение
определено и конечно, и при этом натуральное число (как сумма неотрицательного целого числа и 1). (**)
А это и означает, что предел данной последовательности равен 0
___________________________
2) a=1. Тогда![x_1=\dfrac{1}{1}=1; x_2=\dfrac{1}{2}; x_3=\dfrac{1}{3}; x_4=\dfrac{1}{4}; x_5=\dfrac{1}{5}; x_6=\dfrac{1}{6}](/tpl/images/3820/0626/1e0f6.png)
4)
___________________________
Обозначения и некоторые св-ва: {x} - дробная часть числа x, [x] - целая часть числа x.![0\leq \{x\}](/tpl/images/3820/0626/3d7db.png)