Практические задания по теме «Определение производной».
Задание №1. Составить разностное отношение.
Образец решения:
а) Дано: f(x) = 4x+3;
Найти: f(x+Δx)-f(x)
Решение:
1) Приращение аргумента: x+Δx
2) Приращение функции: f(x+Δx) = 4(x+Δx)+3=4x+4Δx+3
3) Разностное отношение: f(x+Δx) – f(x)=(4x+4Δx+3)-(4x)=4x+4Δx+3-4x=4Δx+3
ответ: f(x+Δx) – f(x)= 4Δx+3
Выполните самостоятельно по образцу:
б) f(x) = 8x
в) f(x) = x-1
г) f(x) = 4x2
Задание №2. Используя определение производной, найти f′(x).
Образец решения:
а) Дано: f(x) = 4x2.
Найти: f′(x).
Решение:
1) f(x) = 4x2.
2) f(x+∆x) = 4•(x+∆x)2 = 4•(x2+2x • ∆x+ (∆x)2) =4x2+8x • ∆x+ 4(∆x)2.
3) ∆y= f(x+∆x) - f(x) =4x2+8x • ∆x+ 4(∆x)2 - 4x2 = 8x • ∆x+4 (∆x)2 .
4)
5)
ответ: производная функции f(x) =4 x2 равна: f′(x) = 8x (или (x2)′=8x)
Выполните самостоятельно по образцу:
б) f(x) = 3x +2
в)f(x) = 3x2-5
f`(x)=(4-2x)`=(4)`-(2x)`=0-2·(x)`=-2·1=-2
Применили правила:
производная суммы( разности) равна сумме( разности) производных
Производная постоянной (C)`=0
Постоянный множитель можно вынести за знак производной
(х)`=1
Производная принимает во всех точках одно и то же значение (-2)
f`(0,5)=f`(-3)=-2
в) f(x)=3x-2
f`(x)=(3x-2)`=(3х)`-(2)`=3·(x)`-0=3·1=3
Применили правила:
производная суммы( разности) равна сумме( разности) производных
Производная постоянной (C)`=0
Постоянный множитель можно вынести за знак производной
(х)`=1
Производная принимает во всех точках одно и то же значение (3)
f`(5)=f`(-2)=3
19 1/3 - 9 = 10 1/3 (ч) - время в пути.
10 1/3 ч = 31/3 ч
Пусть х км/ч - собственная скорость баржи,
тогда (х + 3) км/ч скорость баржи по течению реки,
(х - 3) км/ч - скорость баржи против течения реки.
60 : (х + 3) + 60 : (х - 3) + 2 = 31/3
60 * 3 * (х - 3) + 60 * 3 * (х + 3) + 2 * 3 * (х + 3)(х - 3) = 31 * (х + 3)(х - 3)
180х - 540 + 180х + 540 + 6х² - 18х + 18х - 54 = 31х² - 93х + 93х - 279
360х + 6х² - 54 = 31х² - 279
31х² - 6х² - 360х - 279 + 54 = 0
25х² - 360х - 225 = 0 I : 0
5х² - 72х - 45 = 0
D = - 72² - 4 * 5 * (- 45) = 5184 + 900 = 6084 = 78²
Второй корень не подходит, значит, собственная скорость баржи 15 км/ч.
15 - 3 = 12 (км/ч) - скорость баржи вверх по реке.
60 : 12 = 5 (ч) - шла баржа от пункта А до пункта В.
9 + 5 = 14 (ч) - время, в которое баржа прибыла в пункт В.
ответ: в пункт В баржа прибыла в 14 часов.