1) Область определения – множество значений х при которых функция имеет смысл. Область определения D(f) = ( -oo ; + oo) т.к. нет ограничений (нет деления на переменную, нет корней и т.д.)
Заметим что графиком будет парабола Старший коэффициент отрицательный => ветви параболы направлены вниз.
2) Найдем координаты вершины:
Найдем значение функции в вершине Вершина ( -1 ; 4) Итак Вершина в точке (-1;4) и ветви вниз, значит это наибольшее значение. Теперь легко определить Область значений Значит область значений E(f) = (-oo; 4]
Для решения этих заданий нужно знать:
1) формулы сокращенного умножения: (а ± b)² = а² ± 2аb + b²,
а² - b² = (а - b)(а + b), а³ - b³ = (а - b)(а² + аb + b²);
2) уметь раскладывать многочлены на множители:
- вынесением за скобки общего множителя;
- используя формулы сокращенного умножения;
- используя группировки.
1) 25 - 12x + (x - 5)(x + 5) - (5 - x)² = 25 - 12х + х² - 5² - (5² - 2 · 5 · х + х²) =
= 25 - 12х + х² - 25 - 25 + 10х - х² = -2х - 25;
2)
а) 2ab - 3a = а(2b - 3);
б) 6x⁶ + 8x² = 2x²(3x⁴ + 4);
в) 1/4a² - 81 = (1/2a)² - 9² = (1/2a - 9)(1/2a + 9);
г) x² - 12x + 36 = x² - 2 · x · 6 + 6² = (x - 6)².
3) y(x + 0,2) - 2,7(x + 0,2) = (x + 0,2)(у - 2,7);
при x = 1,8, y = 16,7 (x + 0,2)(у - 2,7) = (1,8 + 0,2)(16,7 - 2,7) = 2 · 14 = 28;
4)
а) 3x² + 12xy + 12y² = 3(х² + 4ху + 4у²) = 3(х² + 2 · х · 2у + (2у)²) =
= 3(х + 2у)² ;
б) 8a(b - 3) + c(3 - b) = 8а(b - 3) - с(b - 3) = (b - 3)(8а - с);
в) x² + 3x - 2xy - 6y = х(х + 3) - 2у(х + 3) = (х + 3)(х - 2у);
5) (x - 1)(x² + x + 1) - x²(x - 1) = 0,
х³ - 1 - х³ + х² = 0,
х² - 1 = 0,
(х - 1)(х + 1) = 0,
х - 1 = 0 или х + 1 = 0
х = 1 х = -1
ответ: -1; 1.
y = - x² - 2x + 3
1) Область определения – множество значений х при которых функция имеет смысл.
Область определения D(f) = ( -oo ; + oo)
т.к. нет ограничений (нет деления на переменную, нет корней и т.д.)
Заметим что графиком будет парабола
Старший коэффициент отрицательный => ветви параболы направлены вниз.
2) Найдем координаты вершины:
Найдем значение функции в вершине
Вершина ( -1 ; 4)
Итак Вершина в точке (-1;4) и ветви вниз, значит это наибольшее значение. Теперь легко определить Область значений
Значит область значений E(f) = (-oo; 4]
3) Промежутки возрастания, убывания:
f(х) возрастает на ( -оо ; - 1 )
f(х) убывает на ( - 1 ; +оо)
4) Нули функции:
- x² - 2x + 3 = 0
x² + 2x - 3 = 0
По теореме Виета
x1+х2 = -2,
x1х2 = -3
x1 = -3
х2 =1
+
_________-3__________________1_________________ - -
5) Промежутки знакопостоянства:
f(х) > 0 при х∈ ( -3 ; 1)
f(х) < 0 при х∈ ( - oo ; -3) ∪ ( 1 ; +оо )
6) Точка пересечения с осью OY ( 0; 3)
Также можно проводить исследование функции с производной.
но это уже другая тема.