Дана функция y=x^3-3x-5. Исследуйте функцию и постройте ее график. Для этого найдите: а) Область определения D(y) = R; б) Производную и критические точки; y' = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1). Имеем 2 критические точки: х = 1 и х = -1. в) Промежутки монотонности; Имеем 3 промежутка значений функции: (-∞; -1), (-1; 1) и (1; +∞).
найденные точки выставляются на числовой прямой; к ним добавляются те точки, в которых производная не определена.
Если производная представлена произведением, то оно равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, и другие при этом не теряют смысла. На промежутках находят знаки производной). Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. x = -2 -1 0 1 2 y' = 9 0 -3 0 9. На промежутках (-∞; -1) и (1; +∞) функция возрастает, на промежутке (-1; 1) функция убывает. г) Точки экстремума и экстремумы; По выше приведенной таблице: точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума. х = -1 точка максимума, х = -1 точка минимума. д) Точку пересечения графика с осью OY и еще несколько точек графика; х = 0, у = -5. е) Нули функции при у =0. Надо решить уравнение x^3-3x-5 = 0. Для вычисления корней данного кубического уравнения используются формулы Кардано. Решение сложное, ответ: х = 2.27902. y(x)=x³−3x−5 таблица точек:xy -5.0 -115 -4.5 -82.6 -4.0 -57 -3.5 -37.4 -3.0 -23 -2.5 -13.1 -2.0 -7 -1.5 -3.9 -1.0 -3 -0.5 -3.6 0 -5 0.5 -6.4 1.0 -7 1.5 -6.1 2.0 -3 2.5 3.1 3.0 13 3.5 27.4 4.0 47 4.5 72.6 5.0 105. Можно воспользоваться программой Excel для получения этих точек.
Решим задачу на нахождение скорости: S (расстояние) = 60 км v₁ (скорость от пристани до острова)= х (км/час) v₂ (скорость от острова до пристани)=х+10 (км/час) Найти v₂=? (км/час) Решение S (расстояние) = v(скорость)*t(время) t=S/v t₁=S/v₁=60/x часов t₂=S/v₂=60/(x+10) часов t₁-t₂=0,3 часа Составим и решим уравнение: 60/x-60/(x+10)=0,3 (умножим все на х(х+10)) 60(х+10)-60х=0,3х(х+10) 60х+600-60х=0,3х²+3х -0,3х²-3х+600=0 0,3х²+3х-600=0 х²+10х-2000=0 D=b²-4ac=10²-4*1*(-2000)=100+8000=8100 (√8100=90) x₁=(-b+√D)/2a=(-10)+90)/2*1=80/2=40 x₂=(-b-√D)/2a=(-10)-90)/2*1=-50 - не подходит, т.к. число меньше 0. v₁=40 км/час v₂=40+10=50 км/час ответ: лодка плыла от острова до пристани со скорость 50 км/час.
Проверим: 60/х-60/(х+10)=0,3 60/40-60/50=1,5=1,2=0,3 часа
Исследуйте функцию и постройте ее график.
Для этого найдите:
а) Область определения D(y) = R;
б) Производную и критические точки;
y' = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1).
Имеем 2 критические точки: х = 1 и х = -1.
в) Промежутки монотонности;
Имеем 3 промежутка значений функции: (-∞; -1), (-1; 1) и (1; +∞).
найденные точки выставляются на числовой прямой; к ним добавляются те точки, в которых производная не определена.
Если производная представлена произведением, то оно равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, и другие при этом не теряют смысла.На промежутках находят знаки производной). Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает.
x = -2 -1 0 1 2
y' = 9 0 -3 0 9.
На промежутках (-∞; -1) и (1; +∞) функция возрастает,
на промежутке (-1; 1) функция убывает.
г) Точки экстремума и экстремумы;
По выше приведенной таблице: точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.
х = -1 точка максимума, х = -1 точка минимума.
д) Точку пересечения графика с осью OY и еще несколько точек графика;
х = 0, у = -5.
е) Нули функции при у =0.
Надо решить уравнение x^3-3x-5 = 0.
Для вычисления корней данного кубического уравнения используются формулы Кардано.
Решение сложное, ответ: х = 2.27902.
y(x)=x³−3x−5 таблица точек:xy -5.0 -115 -4.5 -82.6 -4.0 -57 -3.5 -37.4 -3.0 -23 -2.5 -13.1 -2.0 -7 -1.5 -3.9 -1.0 -3 -0.5 -3.6 0 -5 0.5 -6.4 1.0 -7 1.5 -6.1 2.0 -3 2.5 3.1 3.0 13 3.5 27.4 4.0 47 4.5 72.6 5.0 105.
Можно воспользоваться программой Excel для получения этих точек.
S (расстояние) = 60 км
v₁ (скорость от пристани до острова)= х (км/час)
v₂ (скорость от острова до пристани)=х+10 (км/час)
Найти v₂=? (км/час)
Решение
S (расстояние) = v(скорость)*t(время)
t=S/v
t₁=S/v₁=60/x часов
t₂=S/v₂=60/(x+10) часов
t₁-t₂=0,3 часа
Составим и решим уравнение:
60/x-60/(x+10)=0,3 (умножим все на х(х+10))
60(х+10)-60х=0,3х(х+10)
60х+600-60х=0,3х²+3х
-0,3х²-3х+600=0
0,3х²+3х-600=0
х²+10х-2000=0
D=b²-4ac=10²-4*1*(-2000)=100+8000=8100 (√8100=90)
x₁=(-b+√D)/2a=(-10)+90)/2*1=80/2=40
x₂=(-b-√D)/2a=(-10)-90)/2*1=-50 - не подходит, т.к. число меньше 0.
v₁=40 км/час
v₂=40+10=50 км/час
ответ: лодка плыла от острова до пристани со скорость 50 км/час.
Проверим: 60/х-60/(х+10)=0,3
60/40-60/50=1,5=1,2=0,3 часа