пример.рассмотрим следующую линейную функцию: y = 5x – 3.
1) d(y) = r;
2) e(y) = r;
3) функция общего вида;
4) непериодическая;
5) точки пересечения с осями координат:
ox: 5x – 3 = 0, x = 3/5, следовательно (3/5; 0) – точка пересечения с осью абсцисс.
oy: y = -3, следовательно (0; -3) – точка пересечения с осью ординат;
6) y = 5x – 3 – положительна при x из (3/5; +∞),
y = 5x – 3 – отрицательна при x из (-∞; 3/5);
7) y = 5x – 3 возрастает на всей области определения; линейной функцией называется функция вида y = kx + b, заданная на множестве всех действительных чисел. здесь k – угловой коэффициент (действительное число), b – свободный член (действительное число), x – независимая переменная.
в частном случае, если k = 0, получим постоянную функцию y = b, график которой есть прямая, параллельная оси ox, проходящая через точку с координатами (0; b).
если b = 0, то получим функцию y = kx, которая является прямой пропорциональностью.
смысл коэффициента b – длина отрезка, который отсекает прямая по оси oy, считая от начала координат.
смысл коэффициента k – угол наклона прямой к положительному направлению оси ox, считается против часовой стрелки.
свойства линейной функции:
1) область определения линейной функции есть вся вещественная ось;
2) если k ≠ 0, то область значений линейной функции есть вся вещественная ось. если k = 0, то область значений линейной функции состоит из числа b;
3) четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b.
a) b ≠ 0, k = 0, следовательно, y = b – четная;
b) b = 0, k ≠ 0, следовательно y = kx – нечетная;
c) b ≠ 0, k ≠ 0, следовательно y = kx + b – функция общего вида;
d) b = 0, k = 0, следовательно y = 0 – как четная, так и нечетная функция.
4) свойством периодичности линейная функция не обладает;
5) точки пересечения с осями координат:
ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, следовательно (-b/k; 0) – точка пересечения с осью абсцисс.
oy: y = 0k + b = b, следовательно (0; b) – точка пересечения с осью ординат.
замечание.если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х. если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в ноль ни при каких значениях переменной х.
6) промежутки знакопостоянства зависят от коэффициента k.
a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.
y = kx + b – положительна при x из (-b/k; +∞),
y = kx + b – отрицательна при x из (-∞; -b/k).
b) k < 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.
y = kx + b – положительна при x из (-∞; -b/k),
y = kx + b – отрицательна при x из (-b/k; +∞).
c) k = 0, b > 0; y = kx + b положительна на всей области определения,
k = 0, b < 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.
7) промежутки монотонности линейной функции зависят от коэффициента k.
k > 0, следовательно y = kx + b возрастает на всей области определения,
k < 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.
8) графиком линейной функции является прямая. для построения прямой достаточно знать две точки. положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b.
Раскрыть скобки и решить как квадратное уравнение:
х²+5х-4х-20=0
х²+х-20=0, квадратное уравнение, ищем корни:
D=b²-4ac = 1+80=81 √D=9
х₁=(-b-√D)/2a
х₁=(-1-9)/2
х₁= -10/2
х₁= -5
х₂=(-b+√D)/2a
х₂=(-1+9)/2
х₂=8/2
х₂=4
Теперь начертим СХЕМУ параболы (ничего вычислять не нужно), которую выражает данное уравнение, ветви направлены вверх, парабола пересекает ось Ох при х= -5 и х=4, отмечаем эти точки схематично, смотрим на график.
По графику ясно видно, что у<=0 при х от -5 до 4, то есть, решения неравенства находятся в интервале х∈ [-5, 4], причём значения х= -5 и х=4 входят в решения неравенства.
Неравенство нестрогое, скобки квадратные.
2)х²-х-56>0
Схема решения та же.
Находим корни уравнения:
х²-х-56=0
D=b²-4ac = 1+224=225 √D= 15
х₁=(-b-√D)/2a
х₁=(1-15)/2
х₁= -14/2
х₁= -7
х₂=(-b+√D)/2a
х₂=(1+15)/2
х₂=16/2
х₂=8
Также чертим СХЕМУ параболы (ничего вычислять не нужно), которую выражает данное уравнение, ветви направлены вверх, парабола пересекает ось Ох при х= -7 и х=8, отмечаем эти точки схематично, смотрим на график.
По графику ясно видно, что у>0 (как в неравенстве), слева и справа от значений х, то есть, решения неравенства в интервалах
х∈ (-∞, -7)∪(8, +∞).
Неравенство строгое, скобки круглые.
3)Решить систему неравенств:
х²-9<=0
2x-5<0
Первое неравенство решим как квадратное уравнение:
х²=9
х₁,₂= ±√9
х₁,₂= ±3
Снова чертим СХЕМУ параболы, которую выражает данное уравнение, ветви направлены вверх, парабола пересекает ось Ох при х= -3 и х=3, отмечаем эти точки схематично, смотрим на график.
По графику видно, что у<=0 при х от -3 до 3, включая эти значения.
Решение неравенства х∈ [-3, 3].
Неравенство нестрогое, скобки квадратные.
Второе неравенство:
2x-5<0
2x<5
x<2,5
Решение неравенства х∈ (-∞, 2,5)
Неравенство строгое, скобки круглые.
Теперь нужно на числовой оси отметить интервалы решений двух неравенств и найти пересечение решений, то есть, такое решение, которое подходит двум неравенствам.
Чертим числовую ось, отмечаем значения -3, 2,5, 3.
Штриховка по первому неравенству от -3 вправо до 3, от 3 влево до -3.
По второму неравенству штриховка от 2,5 влево до - бесконечности.
Пересечение х∈ [-3, 2,5), это и есть решение системы неравенств.
4)Найти наибольшее целое число из решений неравенства:
(х+5)(х-6)² <0
Первое неравенство:
х+5<0
x< -5
Решение неравенства х∈ (-∞, -5);
Во втором неравенстве свёрнут квадрат разности, развернуть, приравнять к нулю и решить как квадратное уравнение:
х²-12х+36=0
D=b²-4ac = 144-144=0 √D= 0
х₁=(-b-√D)/2a
х₁=(12-0)/2
х₁=6
х₂=(-b+√D)/2a
х₂=(12+0)/2
х₂=6
В уравнении один корень, значит, парабола не пересекает ось Ох, а как бы "стоит " на оси Ох, а х=6 это абсцисса (значение х) вершины параболы.
То есть, вся парабола находится выше оси Ох, и не существует значений х, при котором у<0 (как в неравенстве).
Значит, решением данного неравенства будет интервал х∈ (-∞, -5).
Неравенство строгое, х= -5 не входит в число решений, значит, наибольшим целым числом из решений неравенства будет х= -4.
пример.рассмотрим следующую линейную функцию: y = 5x – 3.
1) d(y) = r;
2) e(y) = r;
3) функция общего вида;
4) непериодическая;
5) точки пересечения с осями координат:
ox: 5x – 3 = 0, x = 3/5, следовательно (3/5; 0) – точка пересечения с осью абсцисс.
oy: y = -3, следовательно (0; -3) – точка пересечения с осью ординат;
6) y = 5x – 3 – положительна при x из (3/5; +∞),
y = 5x – 3 – отрицательна при x из (-∞; 3/5);
7) y = 5x – 3 возрастает на всей области определения; линейной функцией называется функция вида y = kx + b, заданная на множестве всех действительных чисел. здесь k – угловой коэффициент (действительное число), b – свободный член (действительное число), x – независимая переменная.
в частном случае, если k = 0, получим постоянную функцию y = b, график которой есть прямая, параллельная оси ox, проходящая через точку с координатами (0; b).
если b = 0, то получим функцию y = kx, которая является прямой пропорциональностью.
смысл коэффициента b – длина отрезка, который отсекает прямая по оси oy, считая от начала координат.
смысл коэффициента k – угол наклона прямой к положительному направлению оси ox, считается против часовой стрелки.
свойства линейной функции:
1) область определения линейной функции есть вся вещественная ось;
2) если k ≠ 0, то область значений линейной функции есть вся вещественная ось. если k = 0, то область значений линейной функции состоит из числа b;
3) четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b.
a) b ≠ 0, k = 0, следовательно, y = b – четная;
b) b = 0, k ≠ 0, следовательно y = kx – нечетная;
c) b ≠ 0, k ≠ 0, следовательно y = kx + b – функция общего вида;
d) b = 0, k = 0, следовательно y = 0 – как четная, так и нечетная функция.
4) свойством периодичности линейная функция не обладает;
5) точки пересечения с осями координат:
ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, следовательно (-b/k; 0) – точка пересечения с осью абсцисс.
oy: y = 0k + b = b, следовательно (0; b) – точка пересечения с осью ординат.
замечание.если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х. если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в ноль ни при каких значениях переменной х.
6) промежутки знакопостоянства зависят от коэффициента k.
a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.
y = kx + b – положительна при x из (-b/k; +∞),
y = kx + b – отрицательна при x из (-∞; -b/k).
b) k < 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.
y = kx + b – положительна при x из (-∞; -b/k),
y = kx + b – отрицательна при x из (-b/k; +∞).
c) k = 0, b > 0; y = kx + b положительна на всей области определения,
k = 0, b < 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.
7) промежутки монотонности линейной функции зависят от коэффициента k.
k > 0, следовательно y = kx + b возрастает на всей области определения,
k < 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.
8) графиком линейной функции является прямая. для построения прямой достаточно знать две точки. положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b.
В решении.
Объяснение:
1)Решить неравенство:
(х-4)(х+5)<=0
Раскрыть скобки и решить как квадратное уравнение:
х²+5х-4х-20=0
х²+х-20=0, квадратное уравнение, ищем корни:
D=b²-4ac = 1+80=81 √D=9
х₁=(-b-√D)/2a
х₁=(-1-9)/2
х₁= -10/2
х₁= -5
х₂=(-b+√D)/2a
х₂=(-1+9)/2
х₂=8/2
х₂=4
Теперь начертим СХЕМУ параболы (ничего вычислять не нужно), которую выражает данное уравнение, ветви направлены вверх, парабола пересекает ось Ох при х= -5 и х=4, отмечаем эти точки схематично, смотрим на график.
По графику ясно видно, что у<=0 при х от -5 до 4, то есть, решения неравенства находятся в интервале х∈ [-5, 4], причём значения х= -5 и х=4 входят в решения неравенства.
Неравенство нестрогое, скобки квадратные.
2)х²-х-56>0
Схема решения та же.
Находим корни уравнения:
х²-х-56=0
D=b²-4ac = 1+224=225 √D= 15
х₁=(-b-√D)/2a
х₁=(1-15)/2
х₁= -14/2
х₁= -7
х₂=(-b+√D)/2a
х₂=(1+15)/2
х₂=16/2
х₂=8
Также чертим СХЕМУ параболы (ничего вычислять не нужно), которую выражает данное уравнение, ветви направлены вверх, парабола пересекает ось Ох при х= -7 и х=8, отмечаем эти точки схематично, смотрим на график.
По графику ясно видно, что у>0 (как в неравенстве), слева и справа от значений х, то есть, решения неравенства в интервалах
х∈ (-∞, -7)∪(8, +∞).
Неравенство строгое, скобки круглые.
3)Решить систему неравенств:
х²-9<=0
2x-5<0
Первое неравенство решим как квадратное уравнение:
х²=9
х₁,₂= ±√9
х₁,₂= ±3
Снова чертим СХЕМУ параболы, которую выражает данное уравнение, ветви направлены вверх, парабола пересекает ось Ох при х= -3 и х=3, отмечаем эти точки схематично, смотрим на график.
По графику видно, что у<=0 при х от -3 до 3, включая эти значения.
Решение неравенства х∈ [-3, 3].
Неравенство нестрогое, скобки квадратные.
Второе неравенство:
2x-5<0
2x<5
x<2,5
Решение неравенства х∈ (-∞, 2,5)
Неравенство строгое, скобки круглые.
Теперь нужно на числовой оси отметить интервалы решений двух неравенств и найти пересечение решений, то есть, такое решение, которое подходит двум неравенствам.
Чертим числовую ось, отмечаем значения -3, 2,5, 3.
Штриховка по первому неравенству от -3 вправо до 3, от 3 влево до -3.
По второму неравенству штриховка от 2,5 влево до - бесконечности.
Пересечение х∈ [-3, 2,5), это и есть решение системы неравенств.
4)Найти наибольшее целое число из решений неравенства:
(х+5)(х-6)² <0
Первое неравенство:
х+5<0
x< -5
Решение неравенства х∈ (-∞, -5);
Во втором неравенстве свёрнут квадрат разности, развернуть, приравнять к нулю и решить как квадратное уравнение:
х²-12х+36=0
D=b²-4ac = 144-144=0 √D= 0
х₁=(-b-√D)/2a
х₁=(12-0)/2
х₁=6
х₂=(-b+√D)/2a
х₂=(12+0)/2
х₂=6
В уравнении один корень, значит, парабола не пересекает ось Ох, а как бы "стоит " на оси Ох, а х=6 это абсцисса (значение х) вершины параболы.
То есть, вся парабола находится выше оси Ох, и не существует значений х, при котором у<0 (как в неравенстве).
Значит, решением данного неравенства будет интервал х∈ (-∞, -5).
Неравенство строгое, х= -5 не входит в число решений, значит, наибольшим целым числом из решений неравенства будет х= -4.