Пусть в частном получается многочлен x²+bx+c. Тогда можно составить равенство: x³+ax+1=(x-a)(x²+bx+c)+3. Раскрываем скобки слева и перегруппировываем x³+ax+1=x³-ax²+bx²-abx+cx-ac+3.
x³+ax+1=x³+(b-a)x²+(c-ab)x+3-ac Два многочлена равны, если их степени равны и коэффициенты при одинаковых степенях равны b-a=0 ⇒a=b c-ab=a c-a²=a ⇒ c=a²+a 3-ac=1 3-a·(a²+a)=1 3-a³-a²-1=0 a³+a²-2=0 a³-1+a²-1=0 (a-1)(a²+a+1)+(a-1)(a+1)=0 (a-1)(a²+a+1+a+1)=0 (a-1)(a²+2a+2)=0 так как а²+2а+2=(а+1)²+1>0 при любом а, то а-1=0 а=1 О т в е т. а=1.
Тогда можно составить равенство:
x³+ax+1=(x-a)(x²+bx+c)+3.
Раскрываем скобки слева и перегруппировываем
x³+ax+1=x³-ax²+bx²-abx+cx-ac+3.
x³+ax+1=x³+(b-a)x²+(c-ab)x+3-ac
Два многочлена равны, если их степени равны и коэффициенты при одинаковых степенях равны
b-a=0 ⇒a=b
c-ab=a c-a²=a ⇒ c=a²+a
3-ac=1 3-a·(a²+a)=1
3-a³-a²-1=0
a³+a²-2=0
a³-1+a²-1=0
(a-1)(a²+a+1)+(a-1)(a+1)=0
(a-1)(a²+a+1+a+1)=0
(a-1)(a²+2a+2)=0 так как а²+2а+2=(а+1)²+1>0 при любом а, то
а-1=0
а=1
О т в е т. а=1.