4. ОДЗ предполагает, что в выражении будет смысл. Поэтому, у нас есть два ограничения: знаменатель дроби не равен 0, а также вся дробь больше или равна 0, а равна нулю дробь, только если числитель равен нулю. Начнём с знаменателя:
Приравниваем к нулю, решаем квадратное уравнение и получаем, что в ОДЗ не входят точки 2 и 3. Теперь нам нужно узнать, при каких значения вся дробь больше или равна 0. Получаем что она равна нулю при x = -4, а больше нуля соответственно при x > -4. Получаем ОДЗ:
При котором наибольшем значении параметра а уравнение | x² + 8|х | +12 | = а будет иметь 4 корни ?
ответ: a ∈ ∅
Объяснение: | x² + 8|х| +12 |= а ⇔ | |x|² + 8|х| +12 | = а
замена : t = |x | ≥ 0
| t² + 8t +12 | = а
Ясно,что это уравнение может иметь решение , если а ≥ 0
Фиксируем : а ≥ 0
Если a =0 : t² + 8t +12 = 0
( D = 4 > 0 два корня и они оба отрицательны )
{t₁ + t₂ = - 8 < 0 ; t₁ * t₂ = 12 > 0
* * * t₁ = - 6 ; t₂ = - 2. * * * ⇒ x ∈ ∅
[ t² + 8t+ 12 = - a ; (совокупность
[ t² + 8t + 12 = а . уравнений )
1 . t² + 8t+ 12 = - a
t² + 8t+ 12 + a =0 , D/4 = 4² - (12+a) = 4 - a
D< 0 ⇔ 4 - a < 0 ⇔ a > 4 → нет корней ( действительных )
D= 0 ⇔ 4 - a = 0⇔ a = 4 двукратный корень t₁ = t₂ = - 4 < 0 → исходное уравнение не имеет корней
D > 0 ⇔ 4 - a > 0⇔ а < 4 → два отрицательных корней
t₁ = -4 - √(4 - a) < 0 ; t₂ = - 4 + √(4 - a) < 0
опять → исходное уравнение не имеет действительных корней
- - - - - - - - - - - - - - - -
2. t² + 8t + 12 = а .
t² + 8t + 12 - а = 0 D/4 = 4² - (12- a) = 4+ a
D< 0 ⇔ 4 + a < 0 ⇔ a < - 4 невозможно ( т.е. для всех a > 0 всегда имеет корней )
D = 0 ⇔ 4 + a = 0⇔ a = - 4 двукратный корень t₁ =t₂ = - 4 < 0 → исходное уравнение не имеет действительных корней
D > 0 ⇔ 4 + a > 0 ⇔ a > - 4 → два корня , притом из них один
t₁ = - 4 - √(4 + a) < 0 отрицательный
t₁ = - 4 - √(4 + a) < 0 ; t₂ = - 4 + √ (4 + a)
Второй корень может принимать значение разных знаков и нуль
t₂ < 0 ⇔ - 4 + √ (4 + a) <0 ⇔√ (4 + a) < 4 ⇔ 0 < a< 12
→ исходное уравнение не имеет корней ( x ∈ ∅ )
t₂ = 0 ⇔ - 4 + √ (4 + a) =0 ⇔√ (4 + a) = 4 ⇔ 4 + a = 16 ⇔ a= 12
→ исходное уравнение имеет один корень x = 0
t₂ > 0 ⇔√(4 + a) > 4 ⇔ 4 + a > 16 ⇔ a > 12
* * * а > 12 исходное уравнение имеет 2 корня * * *
резюме
нет корней : x ∈ ∅ , если - ∞ < a < 12 ;
один корень : x = 0 , если a= 12 ;
максимум два корня , если a > 12 .
4. ОДЗ предполагает, что в выражении будет смысл. Поэтому, у нас есть два ограничения: знаменатель дроби не равен 0, а также вся дробь больше или равна 0, а равна нулю дробь, только если числитель равен нулю. Начнём с знаменателя:
Приравниваем к нулю, решаем квадратное уравнение и получаем, что в ОДЗ не входят точки 2 и 3. Теперь нам нужно узнать, при каких значения вся дробь больше или равна 0. Получаем что она равна нулю при x = -4, а больше нуля соответственно при x > -4. Получаем ОДЗ:
x принадлежит [-4; 2) ∪ (2; +∞)