Провести полное исследование функции при производной и построить график.

Букв у нас 10, 3 буквы А, по 2 буквы М и Т, и по одной Е, И и К.
На первую позицию можно ставить одну из десяти букв, на вторую, одну из девяти и т.д. Получим: 10!
Найдём количество которыми можно составить слово математика из данного набора букв при учёте позиции той или иной буквы.
Е, И и К могут занимать только одну позицию, а вот А, М и Т можно менять местами.
Для М и Т это будет 2! и 2!, для А – 3!
С учётом порядка позиции их будет:
Тогда вероятность (согласно классическому определению):

Попробуем другой, более простой
Перестановки с повторением.
Всего у нас
Перестановка с повторением, которая даёт нам слово "Математика" всего одна, потому мы получаем вероятность:

Рассмотрим функцию 

Это возрастающая функция, но чем правее, тем она растет медленнее, поскольку  с ростом x убывает. Значит, при возрастании аргумента с 5 до 7 (на 2 единицы) функция увеличится больше, чем при возрастании аргумента с 11 до 13 ( на те же 2 единицы). Вывод: 

 .

Если такими методами пользоваться нельзя, произведем несколько преобразований, не изменяющих знак между левой и правой частями.

;

возводим в квадрат:





еще одно возведение в квадрат приводит к очевидному неравенству 



Значит, во всех местах, можно заменить знак вопроса на знак больше