Прямоугольную площадку перед домом решили выложить плиткой. Длина и ширина площадки равны 9,3 м и 5,1 м, размеры плитки — 30 см и 10 см. Сколько всего необходимо купить плиток для этой площадки?
1 шаг. Проверим справедливость утверждения при n=1:
- верно
2 шаг. Предположим, что при n=k следующее утверждение верно:
3 шаг. Докажем, что при n=k+1 следующее утверждение также будет верно:
Для доказательства выполним преобразования:
Рассмотрим получавшуюся сумму. Первое слагаемое делится на 9 по предположению, сделанному на предыдущем шаге. Во втором слагаемом первый множитель делится на 3. Значит, остается доказать, что второй множитель также делится на 3. Докажем это, используя арифметику остатков:
Мы получили, что выражение дает при делении на 3 такой остаток, как и число 3. Но число 3 кратно 3, значит и выражение кратно 3.
Возвращаясь к выражению , повторим, что первое слагаемое делится на 9, второе слагаемое представляет собой произведение двух множителей, каждое из которых делится на 3, то есть само слагаемое делится на 9. Сумма двух выражений, делящихся на 9, также делится на 9, или другими словами, кратна 9. Доказано.
Скорость первого рабочего v₁ деталей в минуту Скорость второго рабочего v₂ деталей в минуту Пусть в партии S деталей. Тогда (S-15)/v₁=S/(2v₂) - время, за которое 2-й сделал половину партии. S/v₁=(S-8)/v₂ - время, за которое 1-ый сделал всю партию. Если х - искомое количество деталей, то (S-x)/v₂=S/(2v₁) - время, за которое 1-ый сделал половину партии. Отсюда x=S(1-v₂/(2v₁)). Из 1-го и 2-го уравнений получим v₁/v₂=S/(S-8) и v₁/v₂=2(S-15)/S, т.е. S^2=2(S-8)(S-15). Решаем это квадратное уравнение, получаем корни 6 и 40. 6 не подходит, т.к. количество деталей больше 6. Значит S=40, откуда v₁/v₂=40/(40-8)=5/4, откуда x=40*(1-4/10)=24. ответ: 24 детали.
1 шаг. Проверим справедливость утверждения при n=1:
2 шаг. Предположим, что при n=k следующее утверждение верно:
3 шаг. Докажем, что при n=k+1 следующее утверждение также будет верно:
Для доказательства выполним преобразования:
Рассмотрим получавшуюся сумму. Первое слагаемое
делится на 9 по предположению, сделанному на предыдущем шаге. Во втором слагаемом 
первый множитель делится на 3. Значит, остается доказать, что второй множитель также делится на 3. Докажем это, используя арифметику остатков:
Мы получили, что выражение
дает при делении на 3 такой остаток, как и число 3. Но число 3 кратно 3, значит и выражение 
кратно 3.
Возвращаясь к выражению
, повторим, что первое слагаемое делится на 9, второе слагаемое представляет собой произведение двух множителей, каждое из которых делится на 3, то есть само слагаемое делится на 9. Сумма двух выражений, делящихся на 9, также делится на 9, или другими словами, кратна 9. Доказано.
Скорость второго рабочего v₂ деталей в минуту
Пусть в партии S деталей.
Тогда
(S-15)/v₁=S/(2v₂) - время, за которое 2-й сделал половину партии.
S/v₁=(S-8)/v₂ - время, за которое 1-ый сделал всю партию.
Если х - искомое количество деталей, то
(S-x)/v₂=S/(2v₁) - время, за которое 1-ый сделал половину партии.
Отсюда x=S(1-v₂/(2v₁)).
Из 1-го и 2-го уравнений получим
v₁/v₂=S/(S-8) и v₁/v₂=2(S-15)/S, т.е.
S^2=2(S-8)(S-15).
Решаем это квадратное уравнение, получаем корни 6 и 40.
6 не подходит, т.к. количество деталей больше 6.
Значит S=40, откуда v₁/v₂=40/(40-8)=5/4, откуда x=40*(1-4/10)=24.
ответ: 24 детали.