Числа:
103107111115119123127131135139143147151155159163167171175179183187191195199203207211215219223227231235239243247251255259263267271275279283287291295299303307311315319323327331335339343347351355359363367371375379383387391395399403407411415419423427431435439443447451455459463467471475479483487491495499503507511515519523527531535539543547551555559563567571575579583587591595599603607611615619623627631635639643647651655659663667671675679683687691695699703707711715719723727731735739743747751755759763767771775779783787791795799803807811815819823827831835839843847851855859863867871875879883887891895899903907911915919923927931935939943947951955959963967971975979983987991995999
Легко видеть что сумма равна 123975
1) sin^2(x)=cos^2(x)
x=pi/4+pik, k целое.
2) 3x+5=+-6
3x=+-6-5
x=+-2-5/3
х=1/3 или x=-11/3
3) |x+1|=x+1
x+1>=0
x>=-1
4) |2x+1|+|x+3|=4
Заметим, что |2x+1|<=4
-4<=2x+1<=4
-5/2 <= x <= 3/2
Тогда x>=-5/2>-3 и можно раскрыть второй модуль (|x+3|=x+3)
|2x+1|=4-(x+3)=1-x
a. 2x+1=1-x
x=0
b. 2x+1=x-1
x=-2.
Проверка. |2*0+1|+|0+3|=1+3=4 - ok
|-4+1|+|-2+3|=3+1=4 -ok
Оба корня подходят
5) -3 < 1-2x < 3
-4 < -2x < 2
-2 < -x < 1
-1 < x < 2
6) |x-1| < |x|
Используем геометрический смсл модуля. Тогда расстояние от х до 1 должно быть меньше, чем до 0. Отсюда сразу получаем x>1/2
7) Если x<=0, то неравенство выполняется. Пусть x>0, тогда обе части можно возвести в квадрат.
(x^2-2x)^2>=x^2
(x-2)^2 >= 1 (разделила все на x^2)
x-2>=1 or x-2<=-1
x>=3 or x<=1
Объединяя с условием x>0, кусок ответа здесь (0,1]u[3,+infty)
А полный ответ - (-infty,1]u[3,+infty)
Числа:
103
107
111
115
119
123
127
131
135
139
143
147
151
155
159
163
167
171
175
179
183
187
191
195
199
203
207
211
215
219
223
227
231
235
239
243
247
251
255
259
263
267
271
275
279
283
287
291
295
299
303
307
311
315
319
323
327
331
335
339
343
347
351
355
359
363
367
371
375
379
383
387
391
395
399
403
407
411
415
419
423
427
431
435
439
443
447
451
455
459
463
467
471
475
479
483
487
491
495
499
503
507
511
515
519
523
527
531
535
539
543
547
551
555
559
563
567
571
575
579
583
587
591
595
599
603
607
611
615
619
623
627
631
635
639
643
647
651
655
659
663
667
671
675
679
683
687
691
695
699
703
707
711
715
719
723
727
731
735
739
743
747
751
755
759
763
767
771
775
779
783
787
791
795
799
803
807
811
815
819
823
827
831
835
839
843
847
851
855
859
863
867
871
875
879
883
887
891
895
899
903
907
911
915
919
923
927
931
935
939
943
947
951
955
959
963
967
971
975
979
983
987
991
995
999
Легко видеть что сумма равна 123975
1) sin^2(x)=cos^2(x)
x=pi/4+pik, k целое.
2) 3x+5=+-6
3x=+-6-5
x=+-2-5/3
х=1/3 или x=-11/3
3) |x+1|=x+1
x+1>=0
x>=-1
4) |2x+1|+|x+3|=4
Заметим, что |2x+1|<=4
-4<=2x+1<=4
-5/2 <= x <= 3/2
Тогда x>=-5/2>-3 и можно раскрыть второй модуль (|x+3|=x+3)
|2x+1|=4-(x+3)=1-x
a. 2x+1=1-x
x=0
b. 2x+1=x-1
x=-2.
Проверка. |2*0+1|+|0+3|=1+3=4 - ok
|-4+1|+|-2+3|=3+1=4 -ok
Оба корня подходят
5) -3 < 1-2x < 3
-4 < -2x < 2
-2 < -x < 1
-1 < x < 2
6) |x-1| < |x|
Используем геометрический смсл модуля. Тогда расстояние от х до 1 должно быть меньше, чем до 0. Отсюда сразу получаем x>1/2
7) Если x<=0, то неравенство выполняется. Пусть x>0, тогда обе части можно возвести в квадрат.
(x^2-2x)^2>=x^2
(x-2)^2 >= 1 (разделила все на x^2)
x-2>=1 or x-2<=-1
x>=3 or x<=1
Объединяя с условием x>0, кусок ответа здесь (0,1]u[3,+infty)
А полный ответ - (-infty,1]u[3,+infty)