Пусть x и y такие натуральные числа ,что числа 7x+9y делится на 11.доказать ,что число 57x+78y делится на 11

Предположим, что это утверждение верно. Тогда система:

7х+9у = 11k

57x+78y = 11n, где k,n - натуральные числа,

должна иметь решение (х,у) в натуральных числах. Решим систему:

Из первого выразим у:

у = (11к-7х)/9,  подставим во второе:

57х + 78(11к-7х)/9 = 11n

513x - 546x = 11(9n-78k)

33x = 33(26k - 3n)

x = 26k - 3n   - натуральное число

Значит наше предположение верно и 57х + 78у - делится на 11.

57 * Х + 78 * Y = (35 * X + 45 * Y) + (22 * X + 33 * Y) = 5 * (7 * X + 9 * Y) +

11 * (2 * X + 3 * Y) , следовательно, если  7 * X + 9 * Y  делится на 11. то и

57 * Х + 78 * Y  делится на 11