объяснение: напомним основные свойства степени. пусть а > 0, b > 0, n, m - любые действительные числа. тогда
1) an am = an+m
2)
a
n
a
m
=
a
n
−
m
3) (an)m = anm
4) (ab)n = an bn
5)
(
a
b
)
n
=
a
n
b
n
6) an > 0
7) an > 1, если a > 1, n > 0
8) an < am, если a > 1, n < m
9) an > am, если 0< a < 1, n < m
в практике часто используются функции вида y = ax, где a - заданное положительное число, x - переменная. такие функции называют показательными. это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени — заданное число.
определение. показательной функцией называется функция вида y = ax, где а — заданное число, a > 0,
a
≠
1
показательная функция обладает следующими свойствами
1) область определения показательной функции — множество всех действительных чисел.
это свойство следует из того, что степень ax где a > 0, определена для всех действительных чисел x.
2) множество значений показательной функции — множество всех положительных чисел.
чтобы убедиться в этом, нужно показать, что уравнение ax = b, где а > 0,
a
≠
1
, не имеет корней, если
b
≤
0
, и имеет корень при любом b > 0.
3) показательная функция у = ax является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если a > 1, и убывающей, если 0 < a < 1.
это следует из свойств степени (8) и (9)
построим графики показательных функций у = ax при a > 0 и при 0 < a < 1.
использовав рассмотренные свойства отметим, что график функции у = ax при a > 0 проходит через точку (0; 1) и расположен выше оси oх.
если х < 0 и |х| увеличивается, то график быстро приближается к оси oх (но не пересекает её). таким образом, ось ох является горизонтальной асимптотой графика функции у = ax при a > 0.
если х > 0 и |х| увеличивается, то график быстро поднимается вверх.
график функции у = ax при 0 < a < 1 также проходит через точку (0; 1) и расположен выше оси ох.
если х > 0 и увеличивается, то график быстро приближается к оси ох (не пересекая её). таким образом, ось ох является горизонтальной асимптотой графика.
если х < 0 и |х| увеличивается, то график быстро поднимается вверх.
показательные уравнения
рассмотрим несколько примеров показательных уравнений, т.е. уравнений, в которых неизвестное содержится в показателе степени. решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения ax = ab где а > 0,
a
≠
1
, х — неизвестное. это уравнение решается с свойства степени: степени с одинаковым основанием а > 0,
a
≠
1
равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.
решить уравнение 23x • 3x = 576
так как 23x = (23)x = 8x, 576 = 242, то уравнение можно записать в виде 8x • 3x = 242, или в виде 24x = 242, откуда х = 2.
ответ х = 2
решить уравнение 3х + 1 - 2 • 3x - 2 = 25
вынося в левой части за скобки общий множитель 3х - 2, получаем 3х - 2(33 - 2) = 25, 3х - 2 • 25 = 25,
откуда 3х - 2 = 1, x - 2 = 0, x = 2
ответ х = 2
решить уравнение 3х = 7х
так как
7
x
≠
0
, то уравнение можно записать в виде
3
x
7
x
=
1
, откуда
(
3
7
)
x
=
1
, х = 0
ответ х = 0
решить уравнение 9х - 4 • 3х - 45 = 0
заменой 3х = t данное уравнение сводится к квадратному уравнению t2 - 4t - 45 = 0. решая это уравнение, находим его корни: t1 = 9, t2 = -5, откуда 3х = 9, 3х = -5.
уравнение 3х = 9 имеет корень х = 2, а уравнение 3х = -5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.
i like sport. it plays a great role in my activities. most of all i like to play basketball. i am a very good player and often take part in different sport competitions. sometimes we win them but sometimes we lose. basketball is a team game. it is played in any season because you play this game is indoors game. it is played in a gym. but sometimes you can see streetball - basketball in an open air. there are two baskets in this exciting game and only one orange ball. players must throwthe ballto the basket andgetto it to score a goal. there are two teams with only five players.
many people keen in sport because it makes us healthy and help us to be fit. during you play any sport game you are active and it helps you to burn many calories. basketball is an active game. it makes people be strong, healthy and energetic. it is a game for everybody even for disabled people.
to my mind any sport is risky and dangerous. basketball is riscky too because every minute you can break your arm or leg or get another problem with your health.
i like playing basketball most of all. and i am a basketball fan too. i enjoy watching matches on tv and at the stadium. i have been to the stadium twice. it was great.
я люблю спорт. он играет большую роль в моей деятельности. больше всего я люблю играть в баскетбол. я хороший игрок и часто принимаю участие в различных спортивных соревнованиях. иногда мы выигрываем, но иногда проигрываем. баскетбол это командная игра. в нее играют в любое время года, потому что играют в эту игру в закрытом помещении. в нее играют в спортивном зале. но иногда вы можете видеть стритбол - баскетбол на открытом воздухе. есть две корзины в этой захватывающей игре и только один оранжевый мяч. игроки должны бросать мяч в корзину и попасть в нее, чтобы забить гол. в игре две команды всего с пятью игроками.многие люди занимаются спортом, потому что он делает нас здоровыми и быть в хорошей форме. во то время, когда вы играете в любые спортивные игры вы активны, и это вам сжигать больше калорий. баскетбол - активная игра. она заставляет людей быть сильными, здоровыми и энергичными. это игра для всех, даже для людей с ограниченными возможностями.на мой взгляд, любой вид спорта рискованный и опасный. баскетбол тоже, потому что каждую минуту вы можете сломать руку или ногу или получить другую проблему с вашим здоровьем.мне нравится играть в баскетбол больше всего. и я также фанат баскетбола. мне нравится смотреть матчи по телевизору и на стадионе. я был на стадионе два раза. это было здорово.
ответ: х = -1
объяснение: напомним основные свойства степени. пусть а > 0, b > 0, n, m - любые действительные числа. тогда
1) an am = an+m
2)
a
n
a
m
=
a
n
−
m
3) (an)m = anm
4) (ab)n = an bn
5)
(
a
b
)
n
=
a
n
b
n
6) an > 0
7) an > 1, если a > 1, n > 0
8) an < am, если a > 1, n < m
9) an > am, если 0< a < 1, n < m
в практике часто используются функции вида y = ax, где a - заданное положительное число, x - переменная. такие функции называют показательными. это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени — заданное число.
определение. показательной функцией называется функция вида y = ax, где а — заданное число, a > 0,
a
≠
1
показательная функция обладает следующими свойствами
1) область определения показательной функции — множество всех действительных чисел.
это свойство следует из того, что степень ax где a > 0, определена для всех действительных чисел x.
2) множество значений показательной функции — множество всех положительных чисел.
чтобы убедиться в этом, нужно показать, что уравнение ax = b, где а > 0,
a
≠
1
, не имеет корней, если
b
≤
0
, и имеет корень при любом b > 0.
3) показательная функция у = ax является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если a > 1, и убывающей, если 0 < a < 1.
это следует из свойств степени (8) и (9)
построим графики показательных функций у = ax при a > 0 и при 0 < a < 1.
использовав рассмотренные свойства отметим, что график функции у = ax при a > 0 проходит через точку (0; 1) и расположен выше оси oх.
если х < 0 и |х| увеличивается, то график быстро приближается к оси oх (но не пересекает её). таким образом, ось ох является горизонтальной асимптотой графика функции у = ax при a > 0.
если х > 0 и |х| увеличивается, то график быстро поднимается вверх.
график функции у = ax при 0 < a < 1 также проходит через точку (0; 1) и расположен выше оси ох.
если х > 0 и увеличивается, то график быстро приближается к оси ох (не пересекая её). таким образом, ось ох является горизонтальной асимптотой графика.
если х < 0 и |х| увеличивается, то график быстро поднимается вверх.
показательные уравнения
рассмотрим несколько примеров показательных уравнений, т.е. уравнений, в которых неизвестное содержится в показателе степени. решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения ax = ab где а > 0,
a
≠
1
, х — неизвестное. это уравнение решается с свойства степени: степени с одинаковым основанием а > 0,
a
≠
1
равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.
решить уравнение 23x • 3x = 576
так как 23x = (23)x = 8x, 576 = 242, то уравнение можно записать в виде 8x • 3x = 242, или в виде 24x = 242, откуда х = 2.
ответ х = 2
решить уравнение 3х + 1 - 2 • 3x - 2 = 25
вынося в левой части за скобки общий множитель 3х - 2, получаем 3х - 2(33 - 2) = 25, 3х - 2 • 25 = 25,
откуда 3х - 2 = 1, x - 2 = 0, x = 2
ответ х = 2
решить уравнение 3х = 7х
так как
7
x
≠
0
, то уравнение можно записать в виде
3
x
7
x
=
1
, откуда
(
3
7
)
x
=
1
, х = 0
ответ х = 0
решить уравнение 9х - 4 • 3х - 45 = 0
заменой 3х = t данное уравнение сводится к квадратному уравнению t2 - 4t - 45 = 0. решая это уравнение, находим его корни: t1 = 9, t2 = -5, откуда 3х = 9, 3х = -5.
уравнение 3х = 9 имеет корень х = 2, а уравнение 3х = -5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.
ответ х = 2
решить уравнение 3 • 2х + 1 + 2 • 5x - 2 = 5х + 2х - 2
запишем уравнение в виде
3 • 2х + 1 - 2x - 2 = 5х - 2 • 5х - 2, откуда
2х - 2 (3 • 23 - 1) = 5х - 2( 5 2 - 2 )
2х - 2 • 23 = 5х - 2• 23
(
2
5
)
x
−
2
=
1
x - 2 = 0
ответ х = 2
решить уравнение 3|х - 1| = 3|х + 3|
так как 3 > 0,
3
≠
1
, то исходное уравнение равносильно уравнению |x-1| = |x+3|
возводя это уравнение в квадрат, получаем его следствие (х - 1)2 = (х + 3)2, откуда
х2 - 2х + 1 = х2 + 6х + 9, 8x = -8, х = -1
проверка показывает, что х = -1 — корень исходного уравнения.
i like sport. it plays a great role in my activities. most of all i like to play basketball. i am a very good player and often take part in different sport competitions. sometimes we win them but sometimes we lose. basketball is a team game. it is played in any season because you play this game is indoors game. it is played in a gym. but sometimes you can see streetball - basketball in an open air. there are two baskets in this exciting game and only one orange ball. players must throwthe ballto the basket andgetto it to score a goal. there are two teams with only five players.
many people keen in sport because it makes us healthy and help us to be fit. during you play any sport game you are active and it helps you to burn many calories. basketball is an active game. it makes people be strong, healthy and energetic. it is a game for everybody even for disabled people.
to my mind any sport is risky and dangerous. basketball is riscky too because every minute you can break your arm or leg or get another problem with your health.
i like playing basketball most of all. and i am a basketball fan too. i enjoy watching matches on tv and at the stadium. i have been to the stadium twice. it was great.
я люблю спорт. он играет большую роль в моей деятельности. больше всего я люблю играть в баскетбол. я хороший игрок и часто принимаю участие в различных спортивных соревнованиях. иногда мы выигрываем, но иногда проигрываем. баскетбол это командная игра. в нее играют в любое время года, потому что играют в эту игру в закрытом помещении. в нее играют в спортивном зале. но иногда вы можете видеть стритбол - баскетбол на открытом воздухе. есть две корзины в этой захватывающей игре и только один оранжевый мяч. игроки должны бросать мяч в корзину и попасть в нее, чтобы забить гол. в игре две команды всего с пятью игроками.многие люди занимаются спортом, потому что он делает нас здоровыми и быть в хорошей форме. во то время, когда вы играете в любые спортивные игры вы активны, и это вам сжигать больше калорий. баскетбол - активная игра. она заставляет людей быть сильными, здоровыми и энергичными. это игра для всех, даже для людей с ограниченными возможностями.на мой взгляд, любой вид спорта рискованный и опасный. баскетбол тоже, потому что каждую минуту вы можете сломать руку или ногу или получить другую проблему с вашим здоровьем.мне нравится играть в баскетбол больше всего. и я также фанат баскетбола. мне нравится смотреть матчи по телевизору и на стадионе. я был на стадионе два раза. это было здорово.