В
Все
М
Математика
А
Английский язык
Х
Химия
Э
Экономика
П
Право
И
Информатика
У
Українська мова
Қ
Қазақ тiлi
О
ОБЖ
Н
Немецкий язык
Б
Беларуская мова
У
Українська література
М
Музыка
П
Психология
А
Алгебра
Л
Литература
Б
Биология
М
МХК
О
Окружающий мир
О
Обществознание
И
История
Г
Геометрия
Ф
Французский язык
Ф
Физика
Д
Другие предметы
Р
Русский язык
Г
География
allanazarova12
allanazarova12
22.06.2021 03:23 •  Алгебра

Решить дифференциальное уравнение tgx*y''-y'+1/sinx=0

Показать ответ
Ответ:
Яхшибой
Яхшибой
09.06.2020 17:53

Объяснение:

Понизим порядок дифференциального уравнения с замены y' = z, тогда y'' = z', получаем

z'{\rm tg}\, x-z+\dfrac{1}{\sin x}=0~~~~~|\cdot {\rm ctg}\, x

z'-z{\rm ctg}\, x=-{\rm ctg}\, x\cdot \dfrac{1}{\sin x}

Умножив левую и правую части уравнения на \mu(x)=e^{\int -{\rm ctg}\, x dx}=\dfrac{1}{\sin x}, мы получим

\dfrac{1}{\sin x}z'-{\rm ctg}\, x\cdot \dfrac{1}{\sin x}z=-{\rm ctg}\, x\cdot \dfrac{1}{\sin^2 x}\\ \\ \dfrac{1}{\sin x}\cdot\dfrac{dz}{dx}-\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{\sin x}\right)\cdot z=-{\rm ctg}\, x\cdot \dfrac{1}{\sin^2 x}\\ \\ \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{z}{\sin x}\right)=-{\rm ctg}\, x\cdot \dfrac{1}{\sin^2 x}

Проинтегрируем обе части уравнения

\displaystyle \dfrac{z}{\sin x}=\int {\rm ctg}\, xd\left({\rm ctg}\, x\right)=\dfrac{{\rm ctg}^2x}{2}+C_1\\ \\ z=\dfrac{\cos^2x}{2\sin x}+C_1\sin x\\ \\ y=\int \left(\dfrac{\cos^2x}{2\sin x}+C_1\sin x\right)dx=\dfrac{\cos x}{2}-\dfrac{1}{2}\ln\bigg|\dfrac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}\bigg|-C_1\cos x+C_2

или это сводится к y=-\dfrac{1}{2}\ln\bigg|\dfrac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}\bigg|+C_1\cos x+C_2

0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Алгебра
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота