Уравнения в целых числах – это алгебраические уравнения с двумя или более неизвестными переменными и целыми коэффициентами. Решениями такого уравнения являются все целочисленные (иногда натуральные или рациональные) наборы значений неизвестных переменных, удовлетворяющих этому уравнению. Такие уравнения ещё называют диофантовыми, в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского, который исследовал некоторые типы таких уравнений ещё до нашей эры.
Современной постановкой диофантовых задач мы обязаны французскому математику Ферма. Именно он поставил перед европейскими математиками вопрос о решении неопределённых уравнений только в целых числах. Наиболее известное уравнение в целых числах – великая теорема Ферма: уравнение
xn + yn = zn
не имеет ненулевых рациональных решений для всех натуральных n > 2.
Теоретический интерес к уравнениям в целых числах достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны со многими проблемами теории чисел.
В 1970 году ленинградский математик Юрий Владимирович Матиясевич доказал, что общего позволяющего за конечное число шагов решать в целых числах произвольные диофантовы уравнения, не существует и быть не может. Поэтому следует для разных типов уравнений выбирать собственные методы решения.
При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие методы:
перебора вариантов;
применение алгоритма Евклида;
представление чисел в виде непрерывных (цепных) дробей;
разложения на множители;
решение уравнений в целых числах как квадратных (или иных) относительно какой-либо переменной;
Так как х, у – целые числа, то находим решения исходного уравнения, как решения следующих четырёх систем:
1) x – 2y = 7, x + y = 1;
2) x – 2y = 1, x + y = 7;
3) x – 2y = –7, x + y = –1;
4) x – 2y = –1, x + y = –7.
Решив эти системы, получаем решения уравнения: (3; –2), (5; 2), (–3; 2) и (–5; –2).
ответ: (3; –2), (5; 2), (–3; 2), (–5; –2).
2. Решить в целых числах уравнение:
а) 20х + 12у = 2013;
б) 5х + 7у = 19;
в) 201х – 1999у = 12.
Решение
а) Поскольку при любых целых значениях х и у левая часть уравнения делится на два, а правая является нечётным числом, то уравнение не имеет решений в целых числах.
ответ: решений нет.
б) Подберём сначала некоторое конкретное решение. В данном случае, это просто, например,
WRITING Choose ONE of the topics and write. Topic 1: You are a charitable volunteer in your city and always give a hand to those who are in need: clean the apartments of the disabled people; bring food to animal refuges to feed homeless animals; organise campaigns to raise money and collect toys and clothes for the local orphanages. Your new idea is to write a formal letter to the local mayor to ask him/her for any help he/she can provide to help your charity organisation. Include in your letter the following information: • The title of your charity organisation: • What you have done/are doing aiready; • How you would like the mayor to help your charity organisation. Use appropriate style and examples in your letter.WRITING Choose ONE of the topics and write. Topic 1: You are a charitable volunteer in your city and always give a hand to those who are in need: clean the apartments of the disabled people; bring food to animal refuges to feed homeless animals; organise campaigns to raise money and collect toys and clothes for the local orphanages. Your new idea is to write a formal letter to the local mayor to ask him/her for any help he/she can provide to help your charity organisation. Include in your letter the following information: • The title of your charity organisation: • What you have done/are doing aiready; • How you would like the mayor to help your charity organisation. Use appropriate style and examples in your letter.WRITING Choose ONE of the topics and write. Topic 1: You are a charitable volunteer in your city and always give a hand to those who are in need: clean the apartments of the disabled people; bring food to animal refuges to feed homeless animals; organise campaigns to raise money and collect toys and clothes for the local orphanages. Your new idea is to write a formal letter to the local mayor to ask him/her for any help he/she can provide to help your charity organisation. Include in your letter the following information: • The title of your charity organisation: • What you have done/are doing aiready; • How you would like the mayor to help your charity organisation. Use appropriate style and examples in your letter.WRITING Choose ONE of the topics and write. Topic 1: You are a charitable volunteer in your city and always give a hand to those who are in need: clean the apartments of the disabled people; bring food to animal refuges to feed homeless animals; organise campaigns to raise money and collect toys and clothes for the local orphanages. Your new idea is to write a formal letter to the local mayor to ask him/her for any help he/she can provide to help your charity organisation. Include in your letter the following information: • The title of your charity organisation: • What you have done/are doing aiready; • How you would like the mayor to help your charity organisation. Use appropriate style and examples in your letter.WRITING Choose ONE of the topics and write. Topic 1: You are a charitable volunteer in your city and always give a hand to those who are in need: clean the apartments of the disabled people; bring food to animal refuges to feed homeless animals; organise campaigns to raise money and collect toys and clothes for the local orphanages. Your new idea is to write a formal letter to the local mayor to ask him/her for any help he/she can provide to help your charity organisation. Include in your letter the following information: • The title of your charity organisation: • What you have done/are doing aiready; • How you would like the mayor to help your charity organisation. Use appropriate style and examples in your letter.
Немного теории
Уравнения в целых числах – это алгебраические уравнения с двумя или более неизвестными переменными и целыми коэффициентами. Решениями такого уравнения являются все целочисленные (иногда натуральные или рациональные) наборы значений неизвестных переменных, удовлетворяющих этому уравнению. Такие уравнения ещё называют диофантовыми, в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского, который исследовал некоторые типы таких уравнений ещё до нашей эры.
Современной постановкой диофантовых задач мы обязаны французскому математику Ферма. Именно он поставил перед европейскими математиками вопрос о решении неопределённых уравнений только в целых числах. Наиболее известное уравнение в целых числах – великая теорема Ферма: уравнение
xn + yn = zn
не имеет ненулевых рациональных решений для всех натуральных n > 2.
Теоретический интерес к уравнениям в целых числах достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны со многими проблемами теории чисел.
В 1970 году ленинградский математик Юрий Владимирович Матиясевич доказал, что общего позволяющего за конечное число шагов решать в целых числах произвольные диофантовы уравнения, не существует и быть не может. Поэтому следует для разных типов уравнений выбирать собственные методы решения.
При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие методы:
перебора вариантов;
применение алгоритма Евклида;
представление чисел в виде непрерывных (цепных) дробей;
разложения на множители;
решение уравнений в целых числах как квадратных (или иных) относительно какой-либо переменной;
метод остатков;
метод бесконечного спуска.
Задачи с решениями
1. Решить в целых числах уравнение x2 – xy – 2y2 = 7.
Решение
Запишем уравнение в виде (x – 2y)(x + y) = 7.
Так как х, у – целые числа, то находим решения исходного уравнения, как решения следующих четырёх систем:
1) x – 2y = 7, x + y = 1;
2) x – 2y = 1, x + y = 7;
3) x – 2y = –7, x + y = –1;
4) x – 2y = –1, x + y = –7.
Решив эти системы, получаем решения уравнения: (3; –2), (5; 2), (–3; 2) и (–5; –2).
ответ: (3; –2), (5; 2), (–3; 2), (–5; –2).
2. Решить в целых числах уравнение:
а) 20х + 12у = 2013;
б) 5х + 7у = 19;
в) 201х – 1999у = 12.
Решение
а) Поскольку при любых целых значениях х и у левая часть уравнения делится на два, а правая является нечётным числом, то уравнение не имеет решений в целых числах.
ответ: решений нет.
б) Подберём сначала некоторое конкретное решение. В данном случае, это просто, например,
x0 = 1, y0 = 2.
Тогда
5x0 + 7y0 = 19,
откуда
5(х – x0) + 7(у – y0) = 0,
5(х – x0) = –7(у – y0).
Поскольку числа 5 и 7 взаимно простые, то
х – x0 = 7k, у – y0 = –5k.
Значит, общее решение:
х = 1 + 7k, у = 2 – 5k,
где k – произвольное целое число.
ответ: (1+7k; 2–5k), где k – целое число.
Объяснение:
поставь лайк за старания
Объяснение:
WRITING Choose ONE of the topics and write. Topic 1: You are a charitable volunteer in your city and always give a hand to those who are in need: clean the apartments of the disabled people; bring food to animal refuges to feed homeless animals; organise campaigns to raise money and collect toys and clothes for the local orphanages. Your new idea is to write a formal letter to the local mayor to ask him/her for any help he/she can provide to help your charity organisation. Include in your letter the following information: • The title of your charity organisation: • What you have done/are doing aiready; • How you would like the mayor to help your charity organisation. Use appropriate style and examples in your letter.WRITING Choose ONE of the topics and write. Topic 1: You are a charitable volunteer in your city and always give a hand to those who are in need: clean the apartments of the disabled people; bring food to animal refuges to feed homeless animals; organise campaigns to raise money and collect toys and clothes for the local orphanages. Your new idea is to write a formal letter to the local mayor to ask him/her for any help he/she can provide to help your charity organisation. Include in your letter the following information: • The title of your charity organisation: • What you have done/are doing aiready; • How you would like the mayor to help your charity organisation. Use appropriate style and examples in your letter.WRITING Choose ONE of the topics and write. Topic 1: You are a charitable volunteer in your city and always give a hand to those who are in need: clean the apartments of the disabled people; bring food to animal refuges to feed homeless animals; organise campaigns to raise money and collect toys and clothes for the local orphanages. Your new idea is to write a formal letter to the local mayor to ask him/her for any help he/she can provide to help your charity organisation. Include in your letter the following information: • The title of your charity organisation: • What you have done/are doing aiready; • How you would like the mayor to help your charity organisation. Use appropriate style and examples in your letter.WRITING Choose ONE of the topics and write. Topic 1: You are a charitable volunteer in your city and always give a hand to those who are in need: clean the apartments of the disabled people; bring food to animal refuges to feed homeless animals; organise campaigns to raise money and collect toys and clothes for the local orphanages. Your new idea is to write a formal letter to the local mayor to ask him/her for any help he/she can provide to help your charity organisation. Include in your letter the following information: • The title of your charity organisation: • What you have done/are doing aiready; • How you would like the mayor to help your charity organisation. Use appropriate style and examples in your letter.WRITING Choose ONE of the topics and write. Topic 1: You are a charitable volunteer in your city and always give a hand to those who are in need: clean the apartments of the disabled people; bring food to animal refuges to feed homeless animals; organise campaigns to raise money and collect toys and clothes for the local orphanages. Your new idea is to write a formal letter to the local mayor to ask him/her for any help he/she can provide to help your charity organisation. Include in your letter the following information: • The title of your charity organisation: • What you have done/are doing aiready; • How you would like the mayor to help your charity organisation. Use appropriate style and examples in your letter.