Т.к. в обоих случаях нужно обосновать, что L=0, определение преобразуется в утверждение
2)
А значит, если взять (*), . И правда:
(*) Очевидно, что для любого допустимого значения выражение определено и конечно, и при этом натуральное число (как сумма неотрицательного целого числа и 1). (*)
А это и означает, что предел данной последовательности равен 0
4)
А значит, если взять (**), . И правда:
(**) Очевидно, что для любого допустимого значения выражение определено и конечно, и при этом натуральное число (как сумма неотрицательного целого числа и 1). (**)
А это и означает, что предел данной последовательности равен 0
___________________________
2) a=1. Тогда
4)
___________________________
Обозначения и некоторые св-ва: {x} - дробная часть числа x, [x] - целая часть числа x.
Объяснение:
1). (x-4)/(3+3x)>=x/3 -(x+1)/4
Допустим:
(x-4)/(3+3x)=x/3 -(x+1)/4
(x-4)/(3(1+x))=(4x-3(x+1))/12
4(x-4)=(1+x)(4x-3x-3)
4x-16=x-3+x²-3x
x²-2x-3-4x+16=0
x²-6x+13=0
D=36-42=-6 - это уравнение не имеет решений, так как из отрицательного числа корень не извлекается.
Если уравнение не имеет решений, тогда данное неравенство будет выполняться всегда или не будет выполняться никогда.
Подставим любую точку, например, x0=0:
(0-4)/(3+3*0)>=0/3 -(0+1)/4
-4/3>=-1/4
-1 1/3<-1/4 - данное неравенство не имеет решений.
2). (2x-1)/2 -2x/5>(3x-2)/5 -x/4
Допустим:
(2x-1)/2 -2x/5=(3x-2)/5 -x/4
10x/10 -4x/10 -1/2=12x/20 -5x/20 -2/5
3x/5 -1/2=7x/20 -2/5
12x/20 -7x/20=5/10 -4/10
x/4=1/10
10x=4
x=4/10=2/5=0,4
Чтобы узнать какой поставить знак неравенства, подставим любую точку, например, x0=0:
(2*0-1)/2 -2*0/5>(3*0-2)/5 -0/4
-1/2>-2/5
-0,5<-0,4.
Значит берем знак больше 0:
x>0,4
ответ: x∈(0,4; +∞).
По определению,![\left\{\underset{n\rightarrow\infty}{lim}x_n=L\right\}\Leftrightarrow\forall\varepsilon 0 \ \exists N: \ \forall n\geq N\rightarrow\left|x_n-L\right|](/tpl/images/3820/0626/deae5.png)
Т.к. в обоих случаях нужно обосновать, что L=0, определение преобразуется в утверждение![\left\{\underset{n\rightarrow\infty}{lim}x_n=0\right\}\Leftrightarrow\forall\varepsilon 0 \ \exists N: \ \forall n\geq N\rightarrow\left|x_n\right|](/tpl/images/3820/0626/425cf.png)
2)![x_n=\dfrac{a}{n}](/tpl/images/3820/0626/91672.png)
А значит, если взять
(*),
. И правда: ![\dfrac{|a|}{\varepsilon}](/tpl/images/3820/0626/b9eb2.png)
(*) Очевидно, что для любого допустимого значения
выражение
определено и конечно, и при этом натуральное число (как сумма неотрицательного целого числа и 1). (*)
А это и означает, что предел данной последовательности равен 0
4)![x_n=\dfrac{2+(-1)^n}{n}](/tpl/images/3820/0626/ce351.png)
А значит, если взять
(**),
. И правда: ![\dfrac{|2+(-1)^n|}{\varepsilon}\leq\dfrac{3}{\varepsilon}< \left[\dfrac{3}{\varepsilon}\right] +1=N\leq n \Rightarrow \dfrac{|2+(-1)^n|}{\varepsilon}< n \Rightarrow |x_n|](/tpl/images/3820/0626/49458.png)
(**) Очевидно, что для любого допустимого значения
выражение
определено и конечно, и при этом натуральное число (как сумма неотрицательного целого числа и 1). (**)
А это и означает, что предел данной последовательности равен 0
___________________________
2) a=1. Тогда![x_1=\dfrac{1}{1}=1; x_2=\dfrac{1}{2}; x_3=\dfrac{1}{3}; x_4=\dfrac{1}{4}; x_5=\dfrac{1}{5}; x_6=\dfrac{1}{6}](/tpl/images/3820/0626/1e0f6.png)
4)
___________________________
Обозначения и некоторые св-ва: {x} - дробная часть числа x, [x] - целая часть числа x.![0\leq \{x\}](/tpl/images/3820/0626/3d7db.png)