решить соч по алгебре Преобразуйте уравнение 〖(х-4)〗^2=2х(х+2) к виду ax^2+bx+c=0 укажите старший коэффициент, второй коэффициент и свободный член.
[2]
2. Определите, какое из приведенных ниже уравнений является неполным квадратным уравнением:
A) х^2+3х+10=0
B) 〖-15х〗^2=2х+2
С) y^2/6-5=3y
D) 12x+3x^2+3=0
E) 〖2t〗^2-15=0 [1]
3. Дано квадратное уравнение 5х^2-2х-с=0
а) При каких значениях параметра с данное уравнение имеет два одинаковых действительных корня?
b) Найдите эти корни уравнения.
[3]
4. Не вычисляя корней квадратного уравнения х^2-3х-10=0, найдите х_1^2+х_1^2
[3]
5. Для квадратного трехчлена х^2-4х+3
а) выделите полный квадрат;
b) разложите квадратный трехчлен н множители.
[3]
6. Дано уравнение: х/(х-4)=5/(х-7)
a) Укажите область допустимых значений уравнения;
b) Приведите рациональное уравнение к квадратному уравнению;
c) Найдите решения рационального уравнения.
[4]
7. Решите уравнение: х^2-8|х|+7=0
1) a) 4+12x+9x2
4+12x+18
22+12x
2(11+6x)
б) 25-40х+16х2
25-40х+32
57-40х
г) -56а+49а*2+16
-56а+98а+16
42а+16
2(21а+8)
2) a) (y-1)(y+1) б) p^2-9 г) (3x-2)(3x+2) д) (3x)^2-2^2 е) a^2-3^2
y^2-1 (3x)^2-2^2 9x^2-4 a^2-9
в) 4^2-(5y^2) 9x^2-4
16-25y^2
4) a) a3-b3 б) 27a3+8b3
3(a-b) 81a+24b
3(27a+8b)
Чтобы уравнение имело действительное решение , достаточно чтобы дискриминант был неотрицательным.
D/4 = (a^3-b^3)^2 -(a^2-b^2)*(a^4-b^4)>=0
То есть , необходимо доказать , что при любых a и b справедливо строгое неравенство :
(a^3-b^3)^2>=(a^2-b^2)*(a^4-b^4)
(a-b)^2*(a^2+ab+b^2)^2>=(a-b)^2* (a+b)^2 * (a^2+b^2)
Заметим , что когда a=b , получаем что 0=0 , то есть условие выполнено. И в этом случае уравнение имеет бесконечно много решений.
Теперь, поскольку мы разобрали этот случай и (a-b)^2>=0 , то для случая a≠b , можно поделить обе части неравентсва на (a-b)^2 не меняя знак неравенства :
(a^2+ab+b^2)^2>=(a+b)^2*(a^2+b^2)
( a^2+ab+b^2)^2 >= (a^2+2ab+b^2)*(a^2+b^2)
Теперь сделаем слудующий прием , поскольку (a^2+b^2)^2>0 при a≠b≠0
То можно поделить на это выражение обе части неравенства не меняя его знак :
( 1+ ab/(a^2+b^2) )^2>= 1+ 2ab/(a^2+b^2)
Тогда можно сделать замену:
ab/(a^2+b^2)=t
(1+t)^2>=1+2t
t^2+2t+1>=1+2t
t^2>=0 (верно)
Таким образом :
(a^3-b^3)^2>=(a^2-b^2)*(a^4-b^4) , то есть D>=0.
Вывод : уравнение имеет действительное решение при любых действительных а и b.
Что и требовалось доказать.