РЕШИТЕ Докажите, что 10^70 − 19^70 делится на ) 9; ) 27.

2. Двое играют в игру: в ряд висят 42 воздушных шарика. За один ход разрешается

лопнуть либо один, либо два соседних шарика (пуцки при этом не убирают). Выигрывает тот, кто лопнет последний шарик. Кто выигрывает при правильной игре?

3. В ящике 3 × лежат шарики трёх цветов, по шариков каждого цвета. Барон Мюнхгаузен утверждает, что может переложить шарики в каждом ряду длины так, что в каждом ряду длины 3 будут шарики всех цветов. Можно ли верить барону?

4. Докажите, что ^2×^2 + ^2 + ^2 ≥ ( + + 1)

5. В круговом турнире (т.е. когда каждый играет с каждым по разу) по волейболу участвует несколько команд. Как известно, ничьих в волейболе не бывает. Потенциалом команды будем называть квадрат количества её побед, а уровнем - квадрат числа её проигрышей. Докажите, что сумма потенциалов всех команд равна сумме их уровней.

В решении.

Объяснение:

4. На сторонах прямоугольника построены квадраты Площадь одного квадрата на 56 см²  больше площади другого. Найдите площадь прямоугольника, если известно, что длина  прямоугольника на 4 см больше его ширины.​

х - ширина прямоугольника.

у - длина прямоугольника.

х² - площадь малого квадрата.

у² - площадь большего квадрата.

1) По условию задачи система уравнений:

у = х + 4

у² - х² = 56

В первом уравнении у выражен через х, подставить это выражение во второе уравнение и вычислить х:

(х + 4)² - х² = 56

х² + 8х + 16 - х² = 56

8х = 56 - 16

8х = 40

х = 40/8

х = 5 (см) - ширина прямоугольника.

5 + 4 = 9 (см) - длина прямоугольника.

Проверка:

9² - 5² = 81 - 25 = 56 (см²), верно.

2) Найти площадь прямоугольника:

S = 9 * 5 = 45 (см²).

30

Объяснение:

Чтобы число делилось на 2, его последняя цифра должна быть 0,2,4,6 или 8. К тому же, первая цифра не может быть 0.

Ход решения:

1. находим количество чисел, заканчивающихся на 0,2,4,6,8 (начинаться могут также с 0);

2. находим количество чисел, начинающихся с 0 и заканчивающихся на 2,4,6,8;

3. из первого полученного количества чисел вычитаем второе и получаем результат.

1)

Дано 5 цифр. Последней цифрой числа может быть только 0, 2 или 4. Значит, 3 варианта.

Остаётся 4 цифры. Третью цифру можно выбрать .

Остаётся 3 цифры. Вторую цифру можно выбрать .

Значит, первое количество чисел равно 3⋅4⋅3, или 36.

2)

Дано 5 цифр. Первая цифра числа — 0. Значит, 1 вариант.

Остаётся 4 цифры (1, 2, 3 и 4). Последней цифрой числа может быть только 2 или 4. Значит, 2 варианта.

Остаётся 3 цифры. Третью цифру числа можно выбрать .

Значит, второе количество чисел равно 1⋅2⋅3, или 6.

3) Значит, результат равен 36 − 6, или 30.